Лекція 15
Відкриті резонатори.
Це резонатори на основі відкритих ліній передач. Вони мають
електромагнітний контакт з відкритим простором. Звичайно використовуються в
лазерах сферичні діелектричні резонатори. Нас цікавлять шари діелектрика
для лінії . Тут не можна використовувати геометричні наближення,
потрібно розв’язувати рівняння Максвела.
Розв’яжемо рівняння Максвела для сферичного діелектричного резонатора.
Тут потрібно використати ССК:
, .
В сферичній СК не можна перейти до скалярних рівнянь звичайним чином.
Використовують заміну:, , , , , .
Це – ТМ чи Е – заміна, оскільки . Аналогічно можна зробити Н –
заміну:
Ми будемо використовувати Е – заміну, перейшовши до потенціалу , в
результаті одержимо: .
Щоб отримати саме хвильове рівняння, де була б ще й похідна ,
необхідно зробити заміну: . Потенціали та називають
потенціалами Дебаю. Вони мають методичне значення. Розв’яжемо простіше
рівняння для та - методом відокремлених змінних: тоді
.
Рівняння для - це рівняння Лежандра. Його розв’язки – поліноми
Лежандра. Рівняння для можна звести до рівняння Бесселя заміною
. Це рівняння для сферичних функцій Бесселя (або функцій Бесселя
напівцілого вигляду). Стандартний вигляд рівняння: , його розв’язки
:
.
Таким чином розв’язки:
.
Щоб використати граничні умови, необхідно виразити , через
.
,
отримаємо два рівняння для А та В, причому А і В будуть відмінні від
нуля лише тоді, коли системи рівна нулю. Користуючись виразами для
та , отримаємо: з цього рівняння отримаємо . Для
: . Поле має вигляд:
Таким чином, поля тут ідуть таким же чином, як і в кільці, по якому
біжить струм.
Це була строга, точна теорія резонаторів сферичної форми. Проте, їх
важко виготовляти, вони незручні у використанні. Використовують:
Розрахувати таку систему неможливо, бо немає регулярних граничних умов
(наприклад при ).
Можна вважати, що резонансна частота є проміжним значенням між
резонансною частотою у вписаній та описаній кулі.
Відмінність формування граничних умов:
- регулярна гранична умова
- нерегулярна гранична умова
Коли є металева поверхня, можна записати . Це так звані електричні
стінки.
-----------------------
+ -
МП
струми
+ -
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
