Лекція 7
Хвильовий опір хвильовода.
Для Т – хвилі: (для вакууму). Для ТЕ, ТМ хвиль введення
хвильового опору не є однозначною задачею, бо існує кілька компонент.
Домовились відносити опір до поперечної компоненти: .
Електродинамічні потенціали
Векторний і скалярний потенціали вводяться наступним чином: ;
. У першому рівнянні, очевидно, можна задавати з точністю до
. При цьому рівняння Максвела:
Тоді отримаємо рівняння для ЕД потенціалів:
Рівняння для Т, ТЕ, ТМ хвиль різні. Щоб звести їх до одного виду,
використовуючи потенціали , , де - електрична скалярна
функція, - магнітна скалярна функція. Якщо для Т – хвилі завжди,
то , а перетворюється в нуль завдяки . Рівняння для :
.
При цьому компоненти .
Інші компоненти можна отримати методом, який розглядався раніше. Для
циліндричної СК: .
Круглий хвильовід.
Очевидно, будемо користуватися циліндричною СК :
Шукатимемо хвилю . Можна розв’язати , однак ми розв’яжемо
рівняння для скалярних потенціалів: . З урахуванням вигляду оператора
Лапласа у циліндричній системі координат одержимо: .
Використаємо метод відокремлення змінних:
;
. Звідки очевидно, що:
а) , тут - будь-який кут повороту, залежить лише від вибору
координат (з’явився через симетрію задачі). Оберемо .
б) - ЛДР зі змінними коефіцієнтами, тому звичайним шляхом його
розв’язувати неможливо; потрібно застосувати спеціальні функції. Приведемо
рівняння до стандартного вигляду: заміною воно зводиться до рівняння
Бесселя:
.
Його розв’язками є циліндричні функції (функції Бесселя):
(*)
Функції Неймана , а тому очевидно, що , тому що поле при
повинно бути скінченим. Таким чином, якщо в задачі існує точка ,
то розв’язок завжди береться у вигляді (*), де , тобто у вигляді
функції Бесселя: .
Таким чином, , .
Скористаємося граничними умовами. Оскільки ; а ; то можна
записати: . Отже, - це є умова для визначення . Корені цього
рівняння аналітично не отримуються, але їх можна знайти чисельно:
, де - номер хвилі, - номер рядку.
| |1 |2 |
|0 |3.83 |- |
|1 |1.84 |- |
Отже, . Таким чином, для хвилі . Критична довжина хвилі у
хвилеводі визначається з умови . Аналогічно .
Тепер знайдемо картину хвиль. Для цього скористаємося топологічними
перетвореннями:
Перетворюючи в декартову СК, одержали в циліндричній СК.
Перший індекс – змінна по , другий – змінна по . Таким чином
у круглому хвильоводі “головною”, “найкращою” є хвиля (в той час як у
квадратному - .
-----------------------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
