Лекція 2
Класифікація електромагнітних явищ
Існують загальні підходи для спрощення:
1. Рівняння стаціонарного електромагнітного поля. Інколи можна розглядати
постійні струми. При цьому в рівнянні (*) зникають похідні: Приклад
використання: розрахунок наводок.
2. Розглянемо систему рівнянь у вакуумі, де . Рівняння магнітостатики:
, рівняння електростатики: . Рівняння магнітостатики має місце
і там, де .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в
однорідному ізотропному середовищі. Звідси тобто звідки
одержуємо рівняння Лапласа: (з урахуванням заряду), Пуасона:
(без).
3. Квазістатичне наближення: , - розмір об’єкту. Тоді рівняння
Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже
швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна
знехтувати.
4. Для монохроматичного лінійного поля можна використати метод комплексних
амплітуд: позбавляємося частинних похідних тобто спрощуємо рівняння
Максвела. Рівняння ЕМП в комплексній формі будемо розглядати лише для
лінійних рівнянь, хоча існує метод і для нелінійних. Розглянемо
рівняння:. Зробимо наступну заміну:, та аналогічно .
Підставивши отримаємо: , прирівнявши коефіцієнти отримуємо: -
ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних
амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні
змінні; б) замість похідних по часу треба записати . Для того щоб
знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім
знайти реальну частину від одного з виразів: або . Часто
рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор , де
. Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.
Було б зручно звести рівняння Максвела до хвильових, але це можна
зробити лише у деяких випадках, які і розглянемо.
Плоскі хвилі
Розглядатимемо плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі.
Задача: знайти характеристики плоскої хвилі в такому середовищі.
Розв’язок:
1. Обираємо декартову систему координат;
2. Рівняння Максвела: ; де . У плоскої хвилі на хвильовому
фронті амплітуда і фаза однакова. Нехай хвиля розповсюджується в
напрямку , то . Отримаємо (з ). Розв’язок
отриманог рівнянння осцилятора: .
Перейдемо до справжньої компоненти поля: де - рівняння
хвильового фронту (фаза ). Цей фронт розповсюджується зліва направо.
Якби ми взяли замість компоненту , то одержали б - фронт, що
рухається справа наліво.
Розглянемо .
. ; , тобто маємо дійсно праву трійку . Оскільки ,
то .
Таким чином у плоскій хвилі і залежні величини: якщо одне з них
задане, то друге визначається лише серидовищем (див. *). Це в СГСЕ, в інших
системах по іншому. Наприклад, в СІ у вакуумі 377 (Ом) – опір вільного
простору (хвильовий опір простору).
Затухання електромагнітних хвиль (ЕМХ).
Нехай вздовж осі розповсюджується ЕМХ: ; тут .
Розглянемо в середовищі, де , (найрозповсюдженіший випадок); .
Тоді . З’явилася дійсна величина в експоненті. Тобто кожна хвиля
затухає.
-----------------------
x
y
z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
