Математический анализ .

                § 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

      Математическое исследование многих  реальных  процессов  основано  на
применении  дифференциальных  уравнений,  содержащих  производные   искомых
функций.  Аппарат  дифференциальных  уравнений  универсален:  разнообразные
процессы могут описываться одинаковыми  уравнениями.  Практика  показывает,
что  даже  простые  математические  модели,  использующие  дифференциальные
уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных  явлений  и
оценить их количественные характеристики.

      1. Определения

      Порядком дифференциального уравнения  называется  наибольший  порядок
входящих  в  него  производных.   Этот   параграф   посвящен   обыкновенным
дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида
                                   ,
где  - заданная функция,    -  независимая  переменная,    -
искомая функция,  - ее производная. Уравнения вида
                                    
называются разрешенными относительно производной.
      Функция  называется решением дифференциального  уравнения,  если
после ее подстановки уравнение обращается в тождество.  Процесс  нахождения
решений называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти
все его решения.
       Ниже  рассматриваются  только  уравнения,  разрешенные  относительно
производной. В простейшем случае, когда правая часть уравнения  не  зависит
от , то есть уравнение имеет вид
                                   ,
любое его решение является первообразной функции  ,  а  интегрирование
уравнения сводится к отысканию неопределенного интеграла от    (см.  §
4). Совокупность всех решений,  то  есть  общее  решение  уравнения,  можно
представить формулой
                                   ,
где  - произвольная  постоянная.  При  этом  в  данном  параграфе  под
неопределенным интегралом функции условимся понимать не  все  множество  ее
первообразных, а любую фиксированную первообразную.

      Пример. Для уравнения
                                   ,
интегрируя, получим общее решение
                                   .

      В  следующем  пункте  рассматривается  один  класс  уравнений,  общее
решение которых представляется в  квадратурах,  то  есть  с  использованием
интегралов от известных функций.

      2. Уравнения с разделяющимися переменными

      Дифференциальным уравнением с разделяющимися  переменными  называется
уравнение вида
                                ,                                   (1)
где  и - заданные функции.
      Заметим, что если для некоторого значения  выполнено  ,  то
функция  является решением уравнения (1).
      Рассмотрим случай . Разделив левую и правую части  уравнения  на
, получим  ,  откуда  следует  соотношение  между  первообразными
, где    -  произвольная  постоянная.  Используя  формулу  замены
переменной в неопределенном интеграле (см. § 4), получаем равенство
                                      ,                             (2)
определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1),  зависящее  от
произвольной постоянной.

      Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений  дифференциального
уравнения выделить частное решение нужно задать  какое-либо  дополнительное
условие, например,
                              ,                                     (3)
где ,  - некоторые постоянные. Условие (2) называется  начальным,
а задача отыскания решения,  удовлетворяющего  такому  условию,  называется
задачей Коши.

      Пример. Найдем общее решение уравнения
                                   .
Используя (2), получаем , то есть  ,  где    -  произвольная
постоянная. Отсюда находим семейство решений  .  Кроме  того,  имеется
решение , при котором правая часть уравнения обращается  в  ноль.  Все
найденные решения можно представить одной формулой
                                   ,
где  - произвольная постоянная.

      Пример. Рассмотрим уравнение
                                 .                                  (4)
Как и в предыдущем примере,  является  решением.  При    получаем
 или , откуда находим бесконечное семейство решений
                                   .

      Пример. Решим задачу Коши
                               ,  .
Заметим, что функция  удовлетворяет  уравнению,  но  не  удовлетворяет
начальному условию.  Пусть  ,  тогда  общее  решение  определяется  из
равенства , откуда  и, следовательно,
                                   .
При  с учетом начального условия получим ,  откуда  .  Таким
образом, решением задачи Коши является функция
                                   .

      3. Математические модели некоторых процессов

       Рассмотрим  примеры  задач,  исследование   которых   проводится   с
использованием обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Пример (закон роста населения Земли). Пусть  -  число  людей  на
Земле в момент времени . Демографические  данные  показывают,  что  за
небольшой интервал времени   прирост  населения    пропорционален
квадрату числа людей и интервалу времени:
                                   ,
где  - некоторая постоянная.  Разделив  левую  и  правую  части  этого
равенства на  и перейдя к пределу при , получим уравнение
                             ,                                      (5)
где  - дифференцируемая функция, приближающая функцию . Уравнение
(5) аналогично уравнению (4), рассмотренному выше. Его общее решение  имеет
вид . Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются
с частным решением
                                   ,
где время  исчисляется в годах от начала нашей эры. Функция    не
определена при ,  поэтому  закон  роста  населения  в  будущем  должен
измениться.

      Пример (модель производства). Пусть    -  интенсивность  выпуска
продукции некоторым предприятием в момент времени ,  а    -  цена
продукции. Доход от продажи этой продукции составляет  .  Пусть  часть
вырученных средств, равная
                                       ,                            (6)
где  -  некоторое  число,  направляется  на  расширение  производства.
Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска  продукции  прямо
пропорциональна объему инвестиций:
                               ,                                    (7)
где - постоянная. Из (6) и (7) получаем уравнение
                             ,                                      (8)
общее решение которого при постоянном  имеет  вид  ,  где  .
Если задано начальное условие
                                  ,                                 (9)
то решением задачи Коши (8), (9)  является функция
                                   .
      Уравнение  (8)  называется   уравнением   естественного   роста.   Им
описываются также процессы радиоактивного распада в  физике  и  размножения
бактерий в биологии.
      На практике с  увеличением  выпуска  продукции  происходит  насыщение
рынка  и  цена  падает.  Если,  например,  ,  где      и   -
положительные постоянные, то вместо (8) получим уравнение
                                            ,                      (10)
аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере.

      Пример (модель рекламы). Пусть  - число людей, знающих к моменту
времени    некоторую  новость,  а  -  общее  число  людей.  Будем
предполагать,   что   скорость   распространения   новости       прямо
пропорциональна как числу людей , уже ее знающих, так  и  числу  людей
, еще не знающих новости, то есть
                                    ,                              (11)
где - постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим
                                   ,
откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем
                                    
или
                                   .
График этой функции называется  логистической  кривой.  Для  случая  ,
соответстщего условию, что в момент    половина  людей  знает  новость
(), эта
кривая представлена на рис. 15.


Рис.15.

Рассматриваемое уравнение обладает также решениями  и ,
обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют
ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в
начальный момент ее никто не знает, а во втором - знают все.

      Отметим, что уравнения (10) и (11), описывающие совершенно
разные процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа
возникают при описании динамики эпидемий, процессов размножения
бактерий в ограниченной среде обитания, применяются в математической
теории экологии.
Упражнения

1. Решить уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4);
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) .

2. Решить задачи Коши:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) , ;
9) , ;
10) , ;
11) , ;
12) , ;
13) , ;
14) , ;
15) , ,
16) , ;
17) , ;
18) , ;
19) , ;
20) , .

Ответы
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) Общее решение находится
из уравнения ;
21) ;
22) ;
23) ;
24 ) ;
25) ;
26) .
2.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15)  и ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) .
1 2 3 4 5 6 7