Математический анализ .

                      § 3. Производная и ее применение

      Производная  характеризует  скорость   изменения   функции   при
изменении   ее   аргумента.   Она   является   основным   инструментом
исследования  функций   в   математическом   анализе,   в   частности,
используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная
либо равна нулю, либо не существует.  Через  производную  определяется
понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях.

      1. Определение производной и правила дифференцирования

      Пусть функция  определена  в  некоторой  окрестности  точки
. Пусть  – приращение аргумента в точке  ,  а    –
соответствующее приращение  функции.  Составим  отношение    этих
приращений и рассмотрим его предел при .  Если  указанный  предел
существует, то он называется производной функции  в точке  и
обозначается ,  или , то есть
                                   .
      Операция вычисления производной называется дифференцированием, а
функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке.
Если функция имеет производную в каждой точке интервала , то  она
называется дифференцируемой на этом интервале.

      Примеры.  Найдем производные функций в произвольной точке :
      а) ,
                                   ;
      б) ,
                                    

      Заметим,  что  на  практике  при  вычислении  производных  редко
прибегают к определению. Вместо этого используют  таблицу,  содержащую
выражения для производных всех основных элементарных функций, а  также
правила дифференцирования,  позволяющие  находить  производную  суммы,
разности, произведения, частного и композиции функций.
      Приведем таблицу  производных  некоторых  основных  элементарных
функций и правила дифференцирования.

                             Таблица производных


1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ,
где ,  и  - произвольные постоянные, , .

      Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:

      а) ,
      б)  ;
      в) .

                          Правила дифференцирования

     1) ;
     2) , где  - постоянная;
     3) ;
     4) ;
     5) если , а , то  производная  сложной  функции  
        находится по формуле
                                   ,
где   индексы   указывают,   по    какому    аргументу    производится
дифференцирование.

      Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:

а) ;
б) ;
в) ;

      Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5:
а)  ;   положим , тогда , и, следовательно,
                                   ;
б) ; положим , тогда , и
                                   .

      Заметим,  что  производная  ,   называемая   также   первой
производной функции , сама  является  функцией  аргумента  .
Производная этой функции называется второй производной  функции  
и обозначается , то есть . Аналогично можно ввести третью  и
более высокие производные.

      Примеры. Найдем вторые производные:
      а) ;
      б) .

      2. Геометрический и физический смысл производной

      а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим  график  функции
, дифференцируемой в точке  (рис. 13). Проведем через  точки
 и  графика прямую , и пусть  - угол ее наклона  к
оси . Тогда
                                                                      .
                                                                         (1)



                                  Рис. 13.
Если  стремится к нулю, то  также стремится к нулю, и  точка
 приближается к точке ,  а  прямая    -  к  касательной
, образующей с осью  угол  .  При  этом  равенство  (1)
принимает вид:
        ,                                                           (2)
откуда следует, что производная функции в точке  равна  тангенсу  угла
наклона касательной к графику функции в этой точке.

      Пример. Найдем угол  наклона касательной к графику  функции
 в точке . Поскольку , то в силу формулы  (2)  получаем
. Следовательно угол , то есть касательная  параллельна  оси
.

      б) Физический смысл производной. Если  - время движения,  а
 - путь, пройденный за это время, то отношение  есть средняя
скорость движения на отрезке , а  -  мгновенная  скорость  в
момент времени .
      3. Исследование функций с помощью производной

      Функция  называется возрастающей (убывающей)  на  интервале
, если для любых  из  следует  ().
      Интервалы  возрастания  или  убывания  могут  быть  найдены   на
основании следующего утверждения.

       Теорема  1.  Если    для  всех  ,  то  функция  
возрастает на интервале ; если  для всех ,  то  функция
 убывает на интервале .

      Точка  называется точкой  локального  максимума  (минимума)
функции , если для всех    из  некоторой  окрестности  точки
, , выполнено неравенство  (). Точки  максимума  и
минимума называются точками экстремума функции.
      Для отыскания точек экстремума используются следующие теоремы.

      Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если  функция  
имеет экстремум в точке   и  дифференцируема  в  этой  точке,  то
.

      Из этой  теоремы  вытекает,  что  в  точках  экстремума  функции
производная  либо  равна  нулю,  либо  не  существует.   Такие   точки
называются критическими. Экстремумы функции следует  искать  среди  ее
критических точек.

      Теорема  3  (достаточное  условие  экстремума).  Пусть    -
критическая точка функции . Если при переходе через  точку  
производная  меняет знак с "+" на "–", то в точке    функция
 имеет максимум, а  если  с  "–"  на  "+",  то  –  минимум.  Если
производная не меняет знак при переходе через точку , то  в  этой
точке экстремума нет.

      Проводимый на основе сформулированных  теорем  анализ  поведения
функций используют при построении их графиков.

      Примеры.  а) Найдем интервалы возрастания и убывания функции
                                   ,
и ее экстремумы.
      Производная рассматриваемой функции существует при любом  и
равна . Приравняв производную нулю и решив полученное  квадратное
уравнение, найдем две критические точки:    и  .  Ось  
разбивается этими точками на три  интервала:  ,    и  ,
причем на каждом из них  сохраняет  знак.  Определим  эти  знаки,
например, вычислив  в произвольных точках  указанных  интервалов,
получим:
                 на  и ,   и    на .
      Отсюда в силу теорем 1-3 заключаем, что функция  возрастает
на интервалах  и , убывает на интервале , в точке 
достигает  максимального  значения  ,  а   в   точке       -
минимального значения .

      б) Пусть . Тогда , и единственной  критической  точкой
является . Так как знак  производной  не  меняется  при  переходе
через эту точку, то она не является  точкой  экстремума.  График  этой
функции приведен в § 1 на рис. 7.

      в) Пусть , . Тогда  при всех . Это означает,
что данная функция возрастает на интервалах () и ().

      г) Точка   является  критической  точкой  функции    -
производная функции в этой точке не существует.  Функция  достигает  в
этой точке минимума, что иллюстрирует ее график  (рис. 5).

      4. Эластичность функции

      Пусть аргумент  функции   получает  приращение  .
Тогда значение функции изменяется на величину .  Отношение  
характеризует  среднее  изменение  функции,  приходящееся  на  единицу
изменения ее аргумента, а  предел  этого  отношения  при    равен
производной .
      Рассмотрим относительные изменения  переменных    и  ,
выраженные, например, в процентах:  и  . Их отношение
                                    
показывает,  на  сколько  процентов  в  среднем  меняется     при
изменении  на . Предел этого отношения при   называется
эластичностью функции  и обозначается , то есть
                                   .
      Так как
                                   ,
то справедлива формула
                                   .

      Примеры.  а) Пусть , тогда  и,  следовательно,  .
При  получаем , то есть при увеличении  от  2  до  2,02
(на 1%) значение  изменяется примерно на .
      б) Пусть , тогда  и, следовательно, .  При  
получим . Следовательно, увеличение  от 3 до  3,03  ведет  к
уменьшению  примерно на .
      в) Пусть , тогда   и,  следовательно,  .  В  этом
случае эластичность  постоянна  и  равна  ,  то  есть  при  любом
значении аргумента его увеличение на 1% ведет  к  уменьшению  значения
функции также на .

      Функция  называется эластичной в точке ,  если  ,
нейтральной, если , и неэластичной, если .

      Пример.  Дана зависимость спроса  от цены :
                                   .
Найдем  эластичность  спроса  ,  и  рассмотрим  ее  значения  при
некоторых . Так как ,  то  .  При    имеем  ,
откуда , то есть спрос неэластичен. Если , то ,  ,
– спрос нейтрален. При  получим , то есть   и,  значит,
спрос эластичен.

      Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по
абсолютной  величине   превосходит   относительное   изменение   цены;
неэластичность означает  меньшее  относительное  изменение  спроса  по
сравнению  с  ценой;  нейтральность  –  равенство  этих  изменений  по
абсолютной величине.

      Пример. Пусть зависимость спроса от цены  представлена  функцией
. Величина
                                    
равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на
товар. Выясним, как изменяется спрос с  увеличением  цены.  Для  этого
найдем производную :
                                   ,
откуда
                                   .
      Будем предполагать, что ,  поскольку,  как  правило,  спрос
уменьшается с ростом цены. В этом случае  и, следовательно, имеем
                                   .
      Отсюда видно, что если спрос эластичен (), то  ,  и  с
повышением цены  выручка  от  продажи  товара  снижается;  если  спрос
нейтрален (), то , и выручка мало зависит от изменения цены;
если спрос неэластичен (), то , и  выручка  увеличивается  с
ростом цены.
      Упражнения

1. Найти производные  функций:
1) ;
2);
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;

19) ;
20) 
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) .
2. 2.  Определить угол наклона касательной к графику функции:
   1) при ;
2)  при ;
3) при ;
4) при.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функций и их экстремумы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .

4. Найти эластичность функций:
;
;
;
;
;
 6) .
5. Для заданной зависимости спроса  от цены  найти
эластичность спроса и вычислить ее при заданном значении :
1) ;  2) ;  3) .
6. Для заданной зависимости спроса  от цены  найти значения
цены, при которых выручка возрастает с увеличением цены:
1) ; 2) ; 3) .

      Ответы и решения
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) .

2.
1) Угол наклона касательной  поскольку;
   2) ; 3) , 4) .

3.
1) При  функция убывает, при  - возрастает;  ;
2) Функция возрастает при  и ; убывает при  ; ;
;
3) Функция убывает при всех ; 4) Функция возрастает при всех
;
5) Функция убывает при , возрастает при ;
 ;
6) Функция убывает при всех ;
7) Функция возрастает при , убывает при ; ;
8) Функция убывает при и , возрастает при ;
 , ;
9) Функция возрастает при , убывает при ;;
10) Функция убывает при , возрастает при ; ;


4.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
5. 1) , ; спрос нейтрален;   2) , ; спрос
эластичен;  3) , ; спрос неэластичен.
6. 1) ; 2) ; 3) Таких значений цены нет; выручка не меняется
с ростом цены.
-----------------------
1 2 3 4 5 6 7