Математический анализ .

                        § 4. Неопределенный интеграл

      К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении
функции по ее производной. Эта  задача  решается  с  помощью  операции
интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.

1. Определение интеграла и правила интегрирования

      Пусть для всех , принадлежащих интервалу  ,  выполнено
равенство
                                   ,
тогда функция называется первообразной функции  на .
       Заметим,  что  первообразная  функции    определяется   не
однозначно: вместе с  первообразными являются функции вида ,
где – произвольная  постоянная.  Справедливо  утверждение:  любая
первообразная функции представима в виде  при некотором  значении
.
      Совокупность всех  первообразных  функции    называется  ее
неопределенным  интегралом и обозначается символом :
                                   ;
при  этом    называется  подынтегральной  функцией,  а     -
переменной интегрирования. Операция  нахождения  интеграла  называется
интегрированием.
      Пример. а) Из  равенства    заключаем,  что  функция  
является первообразной функции . Следовательно, можно записать
                                   .
      б) Аналогично, из равенства  следует
                                   .

      В отличие от производной интеграл элементарной функции может  не
быть элементарной функцией. Это относится, например, к  интегралам  от
, ,  .  Однако  интегралы  всех  основных  элементарных
функций  выражаются  через  элементарные  функции.  Приведем   таблицу
некоторых из них, получаемую из таблицы  производных,  и  правила,  по
которым можно находить интегралы других функций.

                             Таблица интегралов

1)  ();             2) ;
3) ;                                 4)  .

                           Правила интегрирования

                    1) ;
                    2) , где ( - постоянная

Отметим, что приведенные правила аналогичны  соответствующим  правилам
дифференцирования.

      Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:

      а) ;
      б) ;
      в) .

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

      В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе
к другой переменной интегрирования. При этом  если  исходная  и  новая
переменные  и   связаны  соотношением  ,  где    -
обратимая дифференцируемая  функция,  то  для  интегралов  справедливо
равенство
                                   ,
в правой части которого после  вычисления  интеграла  следует  сделать
обратную замену .
      В  частности,  используя  замену    (или  ),  получаем
формулу
                                   ,
позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:
                                (),
                                   ,
                                   ,
где  и  - произвольные постоянные, .

      Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы:

      а) ;

      б) ;

      в) ;

      г) интеграл  найдем,  сделав замену , . Тогда
                                   ,
      где использован результат примера в);

      д) .

      Упражнения

      1. Найти интегралы:

1) ;
;

2) ;
3) ;
;

;
;
;
 ;
 .


      2. Найти интегралы:

1) ;
;
2) ;
;
;
;
;
;
;
3) ;
4) ;
5) ;
;
;
;
;
;
.

      Ответы


1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .

2.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .

1 2 3 4 5 6 7