Математический анализ .

                            § 1. Числовые функции

      Понятие функции является одним из основных в математике.  С  его
помощью выражают зависимости между различными переменными  величинами.
Изучение свойств функций, основанное на  методе  пределов,  составляет
содержание математического анализа.

     1. Определение

      Пусть -  некоторое  числовое  множество,  и  пусть  каждому
элементу  поставлено в соответствие число .  Тогда  говорят,
что на множестве  определена числовая функция. Функцию обозначают
некоторым символом, например , и пишут
              .                                                     (1)
Множество  называется областью определения функции ,   
-  ее  аргументом,  а    -  значением  функции  в  точке   .
Используются также обозначения:  для области определения и  
для множества значений функции.
       Графиком  функции    называется   множество   всех   точек
координатной плоскости вида , где .  График  дает  наглядное
представление  о   поведении   функции,   однако   более   удобным   в
теоретических  исследованиях  является  аналитический  способ  задания
функций с помощью  формул.  На  практике  используют  также  табличный
способ, когда значения  функции  указываются  для  отдельных  значений
аргумента.
      В качестве области определения функции могут выступать различные
числовые множества, например:
      а) отрезок ;
      б) интервал ;
      в) полуинтервалы  или ;
      г) бесконечные полуинтервалы  или ;
      д) множество всех действительных чисел R =.
      Под областью определения функции,  заданной  формулой,  понимают
обычно множество всех значений  аргумента,  для  которых  эта  формула
имеет смысл.

      Примеры. 1) Для функции  область  определения  и  множество
значений

имеют вид: , ; график  функции представлен на рис. 1.

                                   Рис. 1.
       2)  Для  функции  имеем  ,  ;  график    функции
изображен на рис. 2.



                                   Рис. 2.

      3) Для функции  имеем: ,
       ; ее график приведен на рис. 3.


                                   Рис. 3.


     2. Основные элементарные функций

      Напомним определения и свойства некоторых элементарных  функций,
известные из  школьного  курса  математики.  В  каждом  случае  укажем
аналитическое выражение и область  определения  функции,  приведем  ее
график.

      а) Линейная функция:
                                   R,
где  и  – некоторые постоянные (числа); график – прямая с
угловым коэффициен-
том  (, где  – угол наклона прямой к оси ):



                             Рис.4.


      б) Квадратичная функция:
                                   R,


                            Рис. 5.

где , ,  - постоянные коэффициенты; график –  парабола,
ее расположение существенно зависит от величины
                                   ,
называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента
:

      в) Обратно пропорциональная зависимость:

                                   ,
где  - постоянная. График – гипербола:

                                   Рис. 6.

      г) Степенная функция:
                                   ,
где   и    -  постоянные;  область  определения  существенно
зависит от . В п. в) рассмотрен  случай , а в  примере  1  -
случай . Приведем еще графики функций для  и :



                                  Рис.  7.


      е) Показательная функция:
                                   R,
где  - постоянная; график в зависимости от значения  имеет
вид:



                             Рис. 8.

       Все  перечисленные  здесь  функции,  а  также  логарифмическая,
тригонометрические и обратные  тригонометрические  функции   основными
элементарными функциями.
     3. Сложная функция

      Пусть заданы функции  и ,  причем  множество  значений
функции  принадлежит области определения  функции  :  .
Тогда можно определить сложную функцию
                                   ,
называемую также композицией функций  и .

      Пример. Из функций  и  с  помощью  указанной  операции
можно составить две сложные функции: и .

      Используя операцию композиции, можно  из  основных  элементарных
функций,  получать  новые  функции,  также  называемые  элементарными.
Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить
из  основных  элементарных   функций   с   помощью   конечного   числа
арифметических операций и композиций.

      Пример.  Функция     (читается:  “модуль  ”)  является
элементарной, так как для всех R справедливо представление .
График этой функции приведен на рис. 9.


                                   Рис. 9.


      4. Обратная функция

      Рассмотрим  функцию    с  областью  определения      и
множеством значений . Предположим, что для любого  уравнение
 имеет единственное решение. Тогда на множестве   можно
определить функцию, сопоставляющую каждому  такое значение ,
что  .  Эту  функцию  называют  обратной  для  функции     и
обозначают :
                                   .
      Функцию, у которой существует обратная функция, назовем
обратимой.
      Обозначая, как обычно, аргумент функции через , а  значение
функции через , можно записать
                                   .
Поскольку взаимная перестановка переменных  и    равносильна
переобозначению координатных осей, можно показать, что график  функции
  симметричен  графику  функции    относительно  биссектрисы
первого и третьего координатных углов  (то  есть  относительно  прямой
).

      Примеры. 1) Для линейной функции   обратная  функция  также
линейна и имеет вид .  Меняя  местами    и  ,  получаем
. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.



                             Рис. 10.

      2) Для функции , , множество значений имеет вид .
Для каждого  уравнение  имеет  единственное  решение  .
Поменяв местами  и , получим , .  Графики  функций
приведены на рис. 11 .



                                  Рис. 11.


                                  Рис. 11.

      3)   Обратной   к   показательной   функции        является
логарифмическая  функция  .  На  рис.  12   представлены  графики
функций  и  .


                                  Рис. 12.



Упражнения

      1. Найти области определения следующих функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) .

      2. Построить графики функций:
1) ,
2) ;
3) ;
4) ;
5) ,
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .

      3. Найти функции обратные к функции , указать их области
определения и построить графики:
1) ;
2) ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .

      Ответы
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)  R;
6)  R;
7) ;
8); 
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14)  R;
15) ;
16) ;
17) ;
18)  ;
19) ;
20) ;
21) ;
22).
.
      3.
1) , R;
2) ,  R;
3), ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) ,  ;
8) ;
9) , ;
10) ,  R.



-----------------------
1 2 3 4 5 6 7