Математический анализ .

§ 5. Определенный интеграл

Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм,
сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной
неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры,
заключенной между графиком функции и осью . При вычислении
определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется
формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через
первообразную функции.

1. Определение

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем
отрезок на частей точками () такими, что . Длины
полученных отрезков обозначим (), и пусть –
наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения
произвольную точку и составим сумму
, (1)
которую назовем интегральной суммой для функции .
Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям
отрезка при различных значениях . Если существует предел
таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции
на отрезке и обозначается
,
при этом функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке
, числа и называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема
на этом отрезке.

Пример. Функция непрерывна на отрезке и,
следовательно, интегрируема на нем. Чтобы вычислить интеграл ,
достаточно рассмотреть любую последовательность разбиений отрезка
, для которой , и найти предел соответствующей
последовательности интегральных сумм. При этом промежуточные точки
для каждого разбиения можно выбирать произвольно. Рассмотрим
равномерные разбиения вида , , а в качестве выберем
правые концы отрезков , то есть положим , . В этом
случае имеем , , и интегральная сумма (1) принимает вид
.
Переходя к пределу при , получаем
.
1. 2. Геометрический смысл

Пусть функция непрерывна на отрезке и
неотрицательна: . Фигуру, ограниченную графиком функции ,
вертикальными прямыми и и осью , назовем
криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка , описанное
в предыдущем пункте, и соответствующую интегральную сумму (1).
Заметим, что слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с
основаниями и высотами (), а вся сумма представляет
площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, см.
Рис. 14. Предел интегральных сумм (если он существует), то есть
определенный интеграл, естественно принять в качестве площади
криволинейной трапеции.

Рис. 14.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке и - любая
ее первообразная на этом отрезке, то справедлива основная формула
интегрального исчисления:
,
называемая формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение
, эту формулу можно записать в виде
.
Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной
функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу,
неопределенного интеграла, что позволяет использовать методы,
изложенные в § 4.

Пример. Найдем интеграл . Поскольку , то по формуле
Ньютона-Лейбница получаем
.

Пример. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции , осью и прямыми и , равна
.
Упражнения

1. Вычислить определенные интегралы:
1) ; 6) ; 11) ;
2) ; 7) ; 12) ;
3) ; 8) ; 13) ;
4) ; 9) ; 14) .
5) ; 10) ;

2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:
1. 1) , , , ;
2. 2) , , , ;
3) , .

Ответы

1. 1) 4; 2) ; 3) ; 4) 1; 5) 0; 6) 2(); 7)
; 8) 2; 9) 0; 10) ;
11) ; 12) : 13) ; 14) ;
2. 1) 12; 2) 1; 3) ; Графики функций и
пересекаются в точках с абсциссами . Площадь фигуры может
быть вычислена как разность двух площадей: и .

1 2 3 4 5 6 7