Математический анализ .

                     § 2. Предел и непрерывность функции

      Пределом  функции  в  точке   называется   число,   к   которому
приближаются значения функции при приближении аргумента к этой  точке.
Строгое определение предела дается сначала для функций частного вида –
последовательностей, а затем переносится на функции  общего  вида.  На
основе понятия предела определяются важнейшие понятия  математического
анализа – производная и интеграл.

     1. Предел  последовательности

      Последовательностью   называется   функция,   определенная    на
множестве натуральных чисел N = . Значения  этой  функции  ,
N,  называются элементами или членами  последовательности,  число
  называется  номером  элемента  .  Для  последовательностей
используется обозначение    или  более  наглядная  запись  .
Задать последовательность можно с помощью формулы, связывающей  и
.
      Приведем  примеры  последовательностей,  указав   их   различные
представления:
      а) ,  или  ,  или  ;
      б) ,  или  ,  или  ;
      в) ,  или ,  или  .
Заметим, что элементы этих последовательностей ведут себя по-разному с
увеличением номера : в первом случае убывают, приближаясь к нулю;
во  втором  случае  неограниченно  возрастают;  в  третьем  случае  не
приближаются ни к  какому  определенному  числу,  принимая  поочередно
значения      и   .   Для   описания   поведения   элементов
последовательности при неограниченном увеличении n   вводится  понятие
предела.
      Число а называется пределом последовательности ,  если  для
любого положительного числа  существует такой  номер  ,  что
для всех  выполняется неравенство  (то есть  отличается
от  менее, чем на ).
      Если  предел  существует,  то  говорят,  что  последовательность
сходится, и пишут  (читается: “предел    равен  ”)  или
 при  (“ стремится к   при  ,  стремящемся  к
бесконечности”). В противном случае  говорят,  что  последовательность
расходится.
      Примеры. а) Последовательность  сходится, ее  предел  равен
нулю: .  Это  непосредственно  следует  из  определения  предела,
поскольку при любом    неравенство    выполняется  для  всех
, и в качестве  можно взять любое натуральное число, большее
.
      б) Аналогично доказывается более общее утверждение:
                            при любом  .

 Например, ,  и т. д.

     2. Правила вычисления пределов последовательностей

      При   вычислении   пределов   последовательностей   используются
следующие правила:
      I. Если последовательности  и  сходятся,  то  сходятся
их сумма, разность и произведение, причем:
                                  1) ,
                                  2) ,
                 2.     3) ;
если  и , то сходится также и частное:
                      4) .
      II. Предел последовательности ,  где    -  постоянная,
равен этой постоянной:
                                   .
      III. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
                                    
(следствие правил I.3 и II).

       Применению  указанных  правил  часто   предшествуют   некоторые
предварительные преобразования выражения, стоящего под знаком предела.


      Примеры. а) ;
      б) .

     3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
      Последовательность    называется  бесконечно  малой,   если
. Это означает, что для любого  найдется номер   такой,
что для всех  выполняется неравенство .
      Последовательность  называется бесконечно большой, если для
любого числа  найдется такой номер  ,  что  для  всех  
справедливо неравенство . В этом случае  пишут    (читается:
“предел   равен  бесконечности”)  или    при    (“
стремится к бесконечности при ,  стремящемся  к  бесконечности”).
Если при этом все элементы  положительны,  начиная  с  некоторого
номера, то пишут  (“предел  равен  плюс  бесконечности”),  а
если отрицательны - используют запись  (“предел  равен минус
бесконечности”).
      Заметим,  что  если  ,  то    (при  ),  то   есть
последовательность, обратная к бесконечно большой, является бесконечно
малой.   Аналогично,   если   ,   то      (при   ),   –
последовательность, обратная к бесконечно малой,  является  бесконечно
большой.
      Справедливы также следующие утверждения:
      сумма и произведение двух бесконечно  малых  последовательностей
являются бесконечно малыми последовательностями;
      произведение   двух   бесконечно   больших   последовательностей
является бесконечно большой последовательностью;
      если  оба предела  и   равны    (или  ),  то
 (соответственно ).

      Примеры. а) Последовательности
                 , , ,  при , 
являются бесконечно малыми, а обратные к ним последовательности
            {}, {}, {}, {} при , {}
– бесконечно большими.
      б) Последовательности  и  бесконечно большие,  поэтому
их сумма  – также бесконечно большая. Отсюда следует, что  –
бесконечно малая последовательность, поскольку
                                   .


     4. Число e
      Рассмотрим последовательность .  Можно  показать,  что  эта
последовательность сходится; ее предел обозначается буквой :
                                   .
Число    играет  важную  роль  в  математике  (служит  основанием
натуральных логарифмов); оно не является  рациональным  и  приближенно
равно
                                   .
      Исходя из определения числа , можно получить более общую
формулу:
                                   ,
справедливую для любой постоянной .
      Приведем пример экономической задачи, в которой возникает  число
. Предположим, что в банк помещена сумма  под  годовых.
Тогда через год сумма вклада составит
                                 ,
где введено обозначение .
      Предположим, что вклад можно снять по истечении любого  срока  в
течение года, и начисление на вклад пропорционально этому сроку,  т.е.
за полгода будет начислено , за месяц - ,  за  один  день  -
. Тогда к концу года можно получить  доход  больший,  чем  ,
действуя следующим образом. Если, например, в  середине  года  закрыть
счет и полученную сумму  снова  положить  в  банк  на  оставшиеся
полгода, то в конце года сумма вклада составит
                                   .
Если повторять операцию закрытия-открытия счета чаще, например, каждый
месяц, то к концу года будем иметь  ,  а  если  каждый  день,  то
.  Если  предположить,  что  операция   закрытия-открытия   счета
производится  раз в году через равные промежутки  времени,  то  в
конце года сумма  вклада  составит  ,  а  если  представить,  что
проценты  начисляются  непрерывно  (число  операций  закрытия-открытия
счета неограниченно растет), то
                                   .
      Таким  образом,  максимальное  число   процентов,   на   которое
гипотетически может увеличиться вклад  при  данной  схеме  начисления,
составляет .  Например,  при  номинальной  ставке  100  %  (
максимальная эффективная ставка составит .



     5. Предел функции

      Пусть функция  определена  на  некотором  интервале  ,
содержащем точку , за исключением быть может самой этой точки.  В
дальнейшем любой интервал, содержащий  некоторую  точку  ,  будем
называть окрестностью данной точки.
      Число  называется пределом функции    в  точке  ,
если для любой последовательности , ,  сходящейся  к  ,
последовательность  значений   функции      сходится   к   .
Обозначения:
                          или  при .
      При вычислении пределов функций используются те же правила,  что
и при  вычислении  пределов  последовательностей.  В  частности,  если
существуют пределы  и , то
                                   ;
                                   ;
                                   ;
если, кроме того,  (тогда  для всех , достаточно
близких к ), то
                                   .

      Примеры. а) Найдем предел  функции    в  точке  .  Для
произвольной последовательности   такой,  что  ,  ,  на
основании свойств пределов последовательностей имеем
                                   .
Отсюда по определению предела функции получаем
                                   .
      б) Найдем предел функции  в точке , в которой  функция
не определена. Для произвольной последовательности    такой,  что
, , имеем
                                   .
Отсюда получаем
                                   .

     6. Пределы в бесконечности. Бесконечные пределы

      Данное выше определение предела функции можно распространить  на
случаи, когда  или  (по отдельности или вместе) являются  не
числами, а символами  ,  или . Так, например, запись
                                   ,
где    -  число,  означает,  что  для  любой  бесконечно  большой
последовательности  ,  стремящейся  к  ,  последовательность
 сходится к . Аналогично, запись
                                   ,
означает, что для любой последовательности , стремящейся к ,
последовательность  стремится к .

      Примеры.  а) ;  б) ;  в) ;
      г) .

      В качестве более сложного примера приведем равенство
                                   ,
которое можно доказать, исходя из определения числа . Заметим,
что этому равенству можно придать вид
                                   .

     7. Непрерывность функции

      Функция , определенная в некоторой окрестности точки ,
называется непрерывной в точке , если
                                   .
Если ввести обозначения  и   (  называется  приращением
аргумента,  а    -  соответствующим  приращением   функции),   то
определению непрерывности можно придать вид
                                   .
Таким образом, непрерывность означает, что малым приращениям аргумента
соответствуют малые приращения функции.
      Функция называется непрерывной  на  множестве  ,  если  она
непрерывна в  каждой  точке  этого  множества.  Справедливо  следующее
утверждение: все основные элементарные  функции  непрерывны  на  своих
областях определения.

      Примеры. Следующие функции непрерывны на указанных множествах:
      а) функция  непрерывна на R;
      б) функция  непрерывна на ;
      в) функция  непрерывна для всех ;
      г) функция  непрерывна на .



      Упражнения
1. Найти пределы последовательностей:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) .

2. Найти пределы функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18)  ;
19) ;
20) 

      Ответы и указания к решению
1.
1) 0;
2) 0;
3) 1;
4) ;
5) 0;
6) 0;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) 0;
14) ;
15) 0;
16) ;
17) ; представить  в виде произведения  ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) 0; преобразовать  к виду ;
22) 0;
23) ;
24)  .
1. 2.
1) 2;
2) 1;
3) 2;
4) 2;
5) 3;
6) 4;
7) ;
8) ;
9) 2;
10) 0;
11) ;
12) ;
13);
14) ;
15) 0;
16) 2;
17) ;
18) ;
19) ;
20) .
1 2 3 4 5 6 7