ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.
Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений
можно вычислить определитель матрицы А.
Пусть в процессе исключения найдено распожение
т.е. построены матрицы L и U . Тогда
и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих,
главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА.
Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк,
определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только
знаком.
А именно,
Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько
перестановок было осуществлено в процессе сключения.
Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором
главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы
которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся
равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и
программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен
нулю.
ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.
Нахождение матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного
уравнения
(1)
где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.
Уравнение (1) можно записать в виде системы уравнений
(2)
где
Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем
уравнений с одной и той же матрицей А , но с различными правыми частями.
Эти системы имеют
вид ( фиксируем j ) :
(3)
где у вектора - столбца равна единице j-та компонента и
равны нулю остальные компоненты.
Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две
независимые системы:
Для решения систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором
главного элемента).
Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента.
Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А , достаточно один
раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и
запомнить матрицы L i U .
Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений
с треугольными матрицами L и U.
При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая
во внимание специальный вид правых частей системы (4).
Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):
Учитывая невырожденность матрицы L ( т.е.
отсюда получаем
При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид
Отсюда последовательно находятся неизвестные по формулам:
Можно показать, что общее число действий умножения и деления,
необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка . Тем
самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение
системы уравнений.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
