ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать
несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.
Если задан явный вид функции, то выражение для производной
часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более
простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то
получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях
возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что
функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и
производная функции приближенного заменяется соответствующей производной
интерполяционного многочлена
Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые
получаются указанным способом.
Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать
Пусть функция задана в двух точках и ее значения
Посстроим интерполяционный многочлен первой степени
Производная равна
Производную функцию в точке приближенно заменяем
производной интерполяционного многочлена
(1)
Величина называется первой разностной производной.
Пусть задана в трех точках
Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
Берем производную
В точке она равна
Получаем приближенную формулу
(2)
Величина называется центральной разностной производной.
Наконец, если взять вторую производную
получаем приближенную формулу.
(3)
Величина называется второй разностной производной.
Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.
Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно
дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует
такая точка что
Доказательство. Очевидно неравенство
По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной
функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и
Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме
равенство.
Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.
Лемма 2.
1.Предположим, что Тогда существует такая точка , что
(4)
2. Если то существует такая точка , что
(5)
3. Когда то существует такая, что
(6) Доказательство. По формуле Тейлора
откуда следует (4).
Если то по формуле Тейлора
(7)
где
Подставим (7) в Получаем
Заменяя в соответствии с леммою 1
получаем
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести
самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с
остаточными членами.
Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих
неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок
относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3)
имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также
говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка
точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок
точности.
Указанным способом можно получать формулы численного
дифференцирования для более старших производных и для большего количества
узлов интерполирования.
Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности
при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству
(8)
Пусть в некоторой окрестности точки производные, через
которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и
удовлетворяют неравенствам
(9)
где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3)
(без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не
превосходит соответственно величин
Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям
:
(12)
при этом
(13)
Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении
отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой
выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть
оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается
соответствующей величиной (13).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
