НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ. ЗАДАЧА ІНТЕРПОЛЯЦІЇ.
Задача наближення функцій виникає при розв’язанні багатьох задач (
обробка експериментальних даних, чисельне диференціювання та інтегрування
функцій, розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь).
Дуже зручною у використанні на практиці функцією є многочлен. Щоб
задати многочлен, треба задати тільки скінченну кількість його
коефіцієнтів. Значення многочлена просто обчислюються (згадаємо схему
Горнера), його легко продиференціювати, проінтегрувати і т.і. Тому
алгебраїчні многочлени знайшли широке застосування для наближення
(апроксимації) функцій.
Розглянемо декілька задач наближення функцій.
Постановка задачі інтерполяції. Нехай відомі значення деякої функції
у різних точках які позначимо
Виникає задача поновлення ( наближеного) функції у довільній
точці .
Іноді відомо, що наближену функцію доцільно шукати у вигляді
де вигляд функції відомий, а параметри треба
визначити.
Коли параметри визначаються з умови збігу і наближеної
функції у точках тобто то такий спосіб наближення
називається інтерполяцією. Точки називаються вузлами
інтерполяції.
Серед способів інтерполяції найбільш поширеним є випадок лінійної
інтерполяції .
де - деякі відомі функції. Значення коефіцієнтів
визначаються з умови збігу з вихідною функцією у вузлах інтерполяції
(1)
тобто з системи n +1 лінійних рівнянь з n+1 невідомими
У окремому випадку, коли
(2)
тобто інтерполяція здійснюється многочленом, який називається
інтерполяційним.
ТЕОРЕМА. Якщо вузли интерполяції різні, то існує єдиний
інтерполяційний многочлен n-го ступеню.
Доведення . Дійсно, система рівнянь (1) у цьому випадку має
вигляд
(3)
Її визначник є визначником Вандермонда
(4)
У тому, що має місце права частина рівності (4) , можна
переконатися наступним чином.
Віднімаючи перший рядок з усіх наступних, маємо
Віднімаючи тепер з кожного стовпця попередній, що множиться на
одержуємо
де
теж є визначником Вандермонда, порядок якого на одиницю менше порядку
попереднього.
Зробивши з ним те ж, що з попереднім, одержимо
Продовжуючи аналогічні викладки остаточно одержимо рівність
(4).
Бачимо, що при
Тобто система (3) має єдиний розв’язок. Теорема доведена.
Таким чином, інтерполяційний поліном можна одержати шляхом
розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3).
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Інтерполяційний многочлен може бути записаний не тільки у формі (2).
Існують і інші форми зображення інтерполяційного многочлена, які можна
записати відразу через вихідні дані задачі , тобто через не
розв’язуючи систему (3).
ТЕОРЕМА. Інтерполяційний многочлен може бути записаний у формі
(5)
яка називається інтерполяційним многочленом Лагранжа .
Доведення . Переконаємось у цьому безпосередньо.
При n=1 маємо
(6)
Бачимо, що вираз (6) є многочлен першого ступеню, причому
підстановкою переконуємося , що
При n=2
тобто маємо многочлен другого ступеню і
Нарешті , для довільного натурального n
(7)
де
(8)
Функції (8) є многочленами ступеню n. Отже (7) теж є
алгебраїчним многочленом ступеню n . Оскільки при маємо
Функціії (многочлени ) (8) називаються лагранжевими
коефіцієнтами .
Зауважимо , що оскільки інтерполяційний многочлен (7) лінійно
залежить від значень функції то інтерполяційний многочлен суми двох
функцій дорівнює сумі інтерполяційних многочленів доданків (коли вузли
інтерполяції співпадають ) .
ПОХИБКА ІНТЕРПОЛЯЦІЇ МНОГОЧЛЕНОМ .
Можна записати рівність
(9)
де -похибка інтерполяції. Якщо відносно функції f нічого не відомо,
крім її значень у вузлах інтерполяції, то ніяких корисних
висновків відносно зробити неможливо. Одержимо деякий вираз похибки
інтерполяції у припущенні, що тобто - функція неперервна разом
зі своїми похідними, -відрізок,
що містить усі вузли інтерполяції і точку .
Введемо позначення
(10)
ТЕОРЕМА. Якщо , відрізок містить усі вузли інтерполяції,
то для маємо
(11)
(12)
де деяка невідома точка.
Доведення. Шукаємо у наступному вигляді
(13)
де деяка функція, значення якої у вузлах інтерполяції можна задати які
завгодно, бо
Зафіксуємо довільне та розглянемо наступну функцію від
(14)
Ця функція внаслідок (1), (9), (10), (13) дорівнює нулеві при
та тобто у всякому випадку у точках відрізку на якому
змінюється
За теоремою Ролля дорівнює нулеві не менше ніж у точках
інтервалу дорівнює нулеві мінімум у n точках цього інтервалу і т. д.
Таким чином, відшукається хоча б одна точка у якій Звідси та з
(14), враховуючи, що
одержуємо Отже,
звідки, у відповідності з (13), (9) має місце (11), (12).
З (12) одержуємо оцінку похибки інтерполяції у точці :
(15)
та оцінку максимальної похибки на усьому відрізку :
(16)
де
Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами.
Розглянемо особливі побудови інтерполяційного многочлена Лагранжа у
випадку рівномірного розподілу вузлів.
Нехай - вузли інтерполяції, - крок, - задані
значення функції причому
Введемо безрозмірну незалежну змінну
Тоді вузлу відповідає
і, окрім того, виконуються співвідношення
При цьому інтерполяційний многочлен Лагранжа, що відповідає випадку
записується у вигляді
У загальному випадку інтерполяційний многочлен Лагранжа
одержить наступний вигляд:
де
Оскільки
де
залишковий член інтерполяційного многочлена може бути поданий у вигляді
Зауважимо ,що з означення виходить ,що зміні змінної на
відрізку відповідає зміна змінної на відрізку
Тому оцінку максимальної похибки інтерполяціі на відрізку
можна записати у наступному вигляді :
де
Величина не залежить від . Її можна заздалегідь обчислити чи
оцінити. Зокрема ,
Враховуючи , що можна зробити висновок , що максимальна похибка
інтерполяціі на відрізку , тобто
Зауважимо ,що (враховуючи ) при зменшенні кроку вдвічі
права частина оцінки зменшиться мінімум у разів.
Виходячи з підсиленої оцінки ,що одержується з нерівності , у
яку замість підставлене , вибирають крок таблиці значень
функції на відрізку з тим щоб забезпечити задану точність
інтерполяції. При цьому є ще можливість змінювати у деяких границях ступінь
інтерполяційного многочлена. Якщо функція достатньо гладка, то
підвищення спочатку, як правило, веде до підвищення припустимого
, але, з другого боку, ускладнює інтерполяцію і підсилює вплив
неусувних похибок табличних значень. На практиці рідко використовують
інтерполяцію з
Зауваження. При заданому вузли інтерполяції
розташовані з кроком , доцільно вибирати з сукупності усіх вузлів
заданої таблиці функції так, щоб точка опинилась як можна ближче до
середини відрізку . Це пов’язано з тим , що коливання функцій
та поблизу середини згаданого відрізку менше,
ніж у його кінців.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
