ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл.
Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа
широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей,
связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Рассмотрим некотрые широко используемые приемы приближенного
вычисления определенных интегралов.
Квадратурные формулы.
Введем понятие квадратурные формулы. Пусть дан определенный интеграл
(1)
от непрерывной на отрезке функции . Приближенное неравенство
(2)
где - некоторые числа, - некотрые точки отрезка ,
называется квадратурной формулой, определяемой весами и узлами
.
Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени
, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени
приближенное равенство (2) становится точным.
Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы.
Формула прямоугольников. Допустим, что . Положим
приближенно
(3)
где , т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
графиком функции , аппроксимируется площадью прямоугольника, высота
которого равна значению в средней точке основания трапеции .
Найдем остаточный член , т.е. погрешность формулы (3) .
Пусть
(4)
Так как
то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
имеем
(5)
где -некоторые точки ,
Функция является первообразной для Поэтому для интеграла,
стоящего в левой части приближенного равенства (3), из формулы Ньтона -
Лейбница с расчетом (5) вытекает следующее соотношеие
Отсюда с помощью ранее доказанной леммы получаем формулу
прямоугольников с остаточным членом :
(6)
Формула трапеций. Пусть Полагаем
(7)
где т.е. интеграл приближенно заменяется площадью
заштрихованной трапеции, показанной на рисунке.
Найдем остаточный член, т.е. погрешность формулы (7). Выразим
і где - функция (4), по формуле Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме :
(8)
(9)
Согласно (8) имеем
(10)
Отделив в правой части (9) слагаемое и заменив его выражением
(10), с учетом того, что находим
Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя
обобщенную теорему о среднем.
* Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть причем
на Тогда существует такая точка что
Доказательство. Положим
(11)
Тогд, так как то
и, следовательно,
Если то и в качестве можн взять любую точку из
Если то вытекает существование такого числа с, удовлетворяющего
неравенствам ( для этого делим все части на ):
(12)
что
(13)
По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11)
, (12) найдется точка , в которой что вместе с равенством (13)
доказывает теорему .
Теперь, так как то по доказанной теоремою
где - некоторая точка . Подставляя полученное в , приходим к
формуле трапеций с остаточным членом :
(14)
Формула Симпсона . Предположим, что Интеграл
приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху параболой, проходящей через точки де
Указанная парабола задается уравнением
в чем нетрудно убедиться, положив поочередно (ее можно также
получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя
подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)
Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол
, имеет вид
(15)
Положим где -функция (4). Поскольку
то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем
Отсюда получаем
(16)
т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.
Поскольку то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к
полученному результату лемму, находим
(17)
где нектрые точки.
Принимая во внимание, что из (16), (17) приходим к формуле
(18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.
Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и
Симпсона (15) называются каноничными.
Усложненные квадратурные формулы.
На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) ,
обычно делят заданный отрезок на равных частей и на кождом
частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную
формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем
квадратурная формула на отрезке называется усложненной. При
применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно
применять за , а при использовании формулы Симпсона - за .
Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть
Обозначим частичные отрезки через
где
В соответствии с (3) полагаем
(19)
где значение в середине частичного отрезка . При этом
справедливо аналогичное (6) равенство
(20) где некоторая точка.
Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19)
приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:
(21)
а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме
где -некоторая точка отрезка , дает усложненную формулу
прямоугольников с остаточным членом:
(22) Совершенно аналогично при услвии, что с
использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула
трапеций
(23)
и отвечающая ей формула с остаточным членом
(24)
где некоторая точка.
Пусть теперь и, как обычно, Перепишем
каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку
длины :
Суммируя левую и правую части этого соотношения от 0 до
N-1, получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона (25)
Сответствующая ей формула с остаточным членом, полученная суммированием по
частичным отрезкам равенств вида (18), при условии, что ,
такова :
(26)
где
Введем краткие обозначения
(27)
где а также положим
(28)
где
Приближенные равенства
(29)
(30)
назовем сответственно формулами прямоугольников, трапеций и формулой
Симпсона, опуская слова ‘’усложненная квадратурная’’.
Из виражений остаточных членов в (22), (24), (26) видно, что формулы
(29) прямоугольников трапеций точны для многочленов первой степени, т.е.
для линейных функций, а формула (30) Симпсона точна для многочленов третьей
степени (для них остаточный член равен нулю ). Погрешность формул (29)
имеет второй порядок относительно (заведомо не лучше, если
непрерывна на и не обращается в нуль), а формула Симпсона при
соответствующей гладкости является формулой четвертого порядка
точности. Поэтму для функций класса при малом формула Симпсона
обычно дает более высокую точность, чем формула (29).
Погрешность формулы прямугольников и формулы Симпсона при вычислении
интеграла (1) в силу (22), (26) удовлетворяет неравенствам
(31)
(32)
Аналогичное неравенство имеет место и для погрешности формули
трапеций.
Наряду с оценками погрешноси сверху полезны оценки снизу. В
частности, для погрешности формулы прямоугольников оценка снизу, вытекающая
из (22), такова:
(33)
Пример. Исследовать погрешность квадратурных формул для интеграла
при .
Имеем
о
на
Согласно (31)-(33) получаем
Формулы прямоугольников трапеций в отдельности уступают при
интегрировании гладких функций формуле Симпсона. Однако в паре они обладают
ценным качеством, а именно, если не изменяет знака на то
формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (1), так как
согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки.
В рассмотренном примере Поэтому
В данной ситуации естественно положить
Тогда т.е. погрешность оценивается через самые приближенные
значения интеграла.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
