СКІНЧЕННІ ТА ПОДІЛЕНІ РІЗНИЦІ.
Скінченні різниці. Нехай де - ціле,
. Величина
(1)
називається скінченною різницею першого порядку функції у точці
(з кроком ).
Величина
називається скінченною різницею другого порядку функції у точці
.
Взагалі, скінченна різниця n-го порядку функції у точці
означається рекурентним співвідношенням
(3)
де .
При обчисленнях скінченні різниці зручно записувати у вигляді таблиці
Розглянемо деякі властивості скінченних різниць.
Лема 1. Якщо , то існує така точка
, що
. (4)
Доведення . При n=1 маємо з формули скінченних приростів
Лагранжа та з (1)
При маємо. Позначимо
Тоді згідно (2)
і тому за формулою скінченних приростів Лагранжа
(5)
Але .
Застосовуючи ще раз формулу скінченних приростів Лагранжа до ,
маємо
(6)
де деяка точка. З (5), (6)
виходить
тобто твердження леми при .
Для лема доводиться аналогічно.
Висновок з леми 1. Скінченна різниця -го порядку
алгебраічного многочлена -го ступеню стала, тобто не залежить від
, а скінченні різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.
Одне з практичних застосувань скінченних різниць полягає у наступному.
Згідно леми 1, якщо , то величина яку можна
обчислити через табличні значення функції за допомогою формули (3),
дорівнює значенню похідної у деякій точці , де
Тому , якщо мале, то число можна наближено прийняти за
величину
та використати в оцінці похибки інтерполяції з рівновіддаленими вузлами.
Такою нестрогою оцінкою похибки користуються, якщо достатньо складне
обчислення похідної , або, взагалі, маємо у розпорядженні тільки
табличні значення n+1 раз диференційовної функції.
Поділені різниці. Нехай тепер -довільні точки (вузли) осі
, причому при .
Значення функції у вузлах називаються поділеними
різницями нульового порядку.
Число
(7)
називається поділеною різницею першого порядку функції (відповідно
точкам ).
Очевидно
(8)
тобто поділена різниця першого порядку є симетричною функцією аргументів
і .
Поділена різниця -го порядку означається через поділені
різниці -го порядку за рекурентною формулою
(9)
При обчисленнях поділені різниці записують у вигляді таблиці
Лема 2. Поділена різниця -го порядку може бути подана
через вузлові значення функції за формулою
тобто є симетричною функцією своїх аргументів .
Доведення . При твердження леми виходить з рівності (8).
При згідно з (9) маємо
Для довільного доведення проводиться за індукцією .
Згідно леми 2 значення поділеної різниці не залежить від порядку нумерації
вузлів, за якими вона будується. Всього маємо
варіантів нумерації вузлів цілими числами від 0 до .
Лема 3. Якщо тобто вузли розміщуються на осі з сталим кроком
то між поділеною різницею -го порядку та скінченною різницею
-го порядку існує наступний зв’язок:
. (12)
Доведення. Для =1 рівність (12) виходить з (1), (7). При
довільному доведення провадиться за індукцією. При цьому
враховується той факт, що при визначенні кожної наступної за порядком
скінченної різниці відбувається згідно (3) віднімання попередніх різниць ,
а при обчисленні наступної поділеної різниці згідно з формулою (9)
провадиться додаткове ділення на величину
Звідси й виникає величина у знаменнику правої частини рівності
(12).
Лема 4. Нехай -мінімальний відрізок, що містить вузли
. Тоді існує така точка
що
. (13)
Доведення . Для вузлів, що розміщені з сталим кроком, рівність (13)
безпосередньо виходить з лем 1, 3.
Доведення у загальному випадку можна здійснити наступним чином.
Візьмемо точку та побудуємо поділену різницю -
го порядку
З цього виразу можна одержати
Співставляючи останнє з раніш одержаним виразом для похибки
, одержуємо
Покладаючи тепер , одержимо (13).
Висновок з леми 4. Поділена різниця -го порядку від
алгебраічного многочлена -го ступеню має стале значення, що не
залежить від вузлів а поділені різниці ще вищих порядків дорівнюють
нулеві.
Скінченні і поділені різниці мають різноманітні застосування. Далі
розглянемо їх використання для побудови інтерполяційних многочленів.
Інтерполяційний многочлен Ньютона .
Нехай -довільні вузли, що не співпадають і у яких відомі значення
функції .
Лема 1. Алгебраїчний многочлен -го ступеню
є інтерполяційним, тобто
(2)
Доведення. Поперш за все зауважимо,що поділені різниці є
числа (не залежать від ), і тому функція (1) дійсно є
алгебраїчний многочлен -го ступеню. Доведемо (2) при . Маємо
Очевидно ,
Тобто при n=1 рівності (2) справедливі.
Доведемо (2) при . Маємо
При рівності (2) доведені .
При довільному натуральному рівності (2) доводяться за
індукцією.
Многочлен (1) називається інтерполяційним многочленом Ньютона для
нерівних проміжків .
Згідно теоремі єдності він тотожньо співпадає з інтерполяційним
многочленом Лагранжа, тобто Таким чином ми маємо різні записи
інтерполяційного многочлена.Залишковий член інтерполяційного многочлена
Ньютона той же, що і інтерполяційного многочлена Лагранжа, тобто всюди в
оціночних рівностях і нерівностях можна замінити на
У інтерполяційного многочлена Лагранжа видно його явну залежність від
кожного значення функції Це у багатьох випадках буває корисним. Але
при зміні інтерполяційний многочлен Лагранжа треба будувати заново. У
цьому є його недолік.
Інтерполяційний многочлен Лагранжа (1) містить не значення функції
, а її поділені різниці. При зміні степеню у інтерполяційного
многочлена Ньютона треба добавити або відкинути відповідну кількість
стандартних доданків. Це зручно на практиці.
Випадок равновіддалених вузлів. Нехай
Тоді, враховуючи зв’язок поділеної різниці із скінченною різницею
і вводячи безрозмірну змінну
інтерполяційний многочлен (1) можна переписати у вигляді
Цей многочлен називається інтерполяційним многочленом Ньютона для
інтерполяції вперед.
У ньому початок відліку знаходиться у крайньому вузлі , а
використані скінченні різниці йдуть у таблиці різниць від вправо
униз. Інтерполяційний многочлен (3) зручно використовувати на початку
таблиці.
Інтерполяційний многочлен з вулами ,
,де , має вигляд
(4)
і називається інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції назад.
У ньому початок відліку розташований у крайньому правому вузлі
, а вікористані скінченні різниці йдуть у таблиці від вправо
угору .
Інтерполяційний многочлен (4) зручно використовувати при інтерполяції
у кінці таблиці.
Якщо при заданому у таблиці значень функції з кроком
маємо достатню кількість вузлів з кожного боку від , то доцільно
вузли інтерполяції вибирати так, щоб точка опинилась як
можна ближче до середини мінімального відрізку, що містить вузли. При цьому
інтерполяційний многочлен можна будувати по- різному.
Найбільш істотньо задати інтерполяційний многочлен у вигляді (1), де
за береться найближчий до вузол, далі за приймається
найближчий до вузол, що міститься з протилежного від боку,
ніж . Наступні вузли призначаються по черзі з різних боків від ,
що містяться як можливо ближче до . При токому виборі вузлів доданки,
що слідують один за одним у виразі (1), як правило, спадають, якщо
мале, а невелике.
Можливо також у розглянутому випадку використовувати інтерполяційні
многочлени (3), (4), а також інтерполяційний многочлен Лагранжа.
На закінчення зазначимо, що залишковий член многочлена (3) має той же
вигляд, що і у випадку інтерполяційного многочлена Лагранжа з
рівновіддаленими вуздами, тобто
а залишковий член інтерполяційного многочлена (4) може бути подано у
вигляді
де -похідна від , -деяка точка мінімального відрізку,
що містить вузли інтерполяції і точку .
Згідно лемі, у якій показано, що та при умові, що мале, а
функція достатньо гладка, поточний доданок у виразі (3)
інтерполяційного многочлена Ньютона приблизно дорівнює похибці інтерполяції
многочленом, побудованим з усіх попередніх доданків. Це зауваження
стосується й до інтерполяційного многочлена (4) для інтерполяції назад.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
