На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Шпора по математическому анализу .
|Лекция 8 | |Лекция 4 | |Ликция 9 |
| | |1 Лин диф ур. | | |
|Линейные | |х(=a(t)x+b(t) – | |Лин однородные |
|однородные диф-уры| |ур-е такого вида | |диф-уры n-го |
|1го пор-ка с | |наз ЛДУ | |пор-ка с перем |
|перем. коэф. | |a(t) и b(t) непр в| |коэф. |
| | |инт-ле (a,b) Нужно| |y((+p(x)y(+g(x)y=0|
|1.Нелокальная Th | |найти такое реш-е | | |
|(я и единств нач. | |t0: (2) x(t0)=x0 | |фор-лы для реш-я |
|задачи. Понятие | |t0((a,b) | |этого ур-я не( |
|дифер. опер-ра. | |x(=a(t), b(t)(0 | |x(d2y/dx^2)+dy/dx+|
| | |(3) однор ур-е | |xy=0 – ур-е |
|Лин. однородн. ДУ | |dx/dt=a(t)x; | |Бесселя |
|n-го пор-ка с | |dx/x=a(t)dt | |d^2y/dx^2+(1/x)(dy|
|перем коэф наз-ся | |?dx/x=?a(t)dt | |/dx)+y=0 x<>0 |
|ур-е след вида : | |ln|x|=ln|c|+(t0,t)| |Одно из решений |
|y(n)+a1(x)y(n-1)+.| |?a(s)ds | |ур-ий Бесселя |
|.+an(x)y=0 (1) | ||x|=|c|e^((t0,t)?a| |имеет вид: |
|Ф-ии a1(x)…an(x) | |(s)ds)- реш-е сохр| |y=1-x^2/2^2+x^4/((|
|опр-ны и непр-ны | |знак! | |2^4)(4^2))+…+(-1)^|
|на одном и том-же | |x=ce^((t0,t)?a(s)d| |n(x^2n/[(2^2)(4^2)|
|интрвале (a;b) | |s) (4)! с(R | |…(2n)^2]+2*4*...2n|
|Ур-е (1) наз-ся | |Т.к. при с=0 | |=(2n)!! |
|приведенным если | |x(t)=o то (4) дает| |1.Опр-ель |
|при старшей | |общ решен. | |Вронского и фор-ла|
|произвв стоит 1. | |однородн ур-я(3) | |Лиувилля |
|Решением ДУ (1) | |x(t)=x0e^((t0,t)?a| |Рассм ЛДУ 1-го |
|наз n hfp | |(s)ds)) (5)! | |пор-ка с перем |
|непрерывная | |Ур-е вида (1) наз | |коэф: |
|диффер. фун-ия | |неоднордн а (2) | |y(n)+a1(x)y(n-1)+…|
|y(x) кот в кажд. | |это однор, соотв | |+an(x)y=0 (1) |
|(.) (a,b) удовл. | |неоднор вида(1) | |где (a1…an)(x) |
|однор. ур-ю (1) | |Метод Лагранжа реш| |непр на нек (a,b) |
|Общ. реш. | |ур-я (1) вариаций | |числ прямой |
|однородн. ур-я (1)| |произвольной | |Выпишем какую-либо|
|зависит от n | |постоянной. | |систему этих |
|произв. | |Реш ур-я (1) | |решений из ур |
|постоянных. Для | |ищется в виде (4) | |y1(x),y2(x)…yn(x) |
|того чтоб выделить| |где С- не конст а | |(2) и состав |
|1 частное реш-е | |некот ф-я | |опред. (3) W(x)= |
|необх задать n | |(вариируем произв.| | |
|штук нач. условий | |пост. С) | | |
| | |x=c(t)e^((t0,t)?a(| | |
|Пусть (х0 ( (a,b) | |s)ds)) (6) | |опр-ль Вронского |
|g(x0)=y0 | |c((t)e^((t0,t)?a(s| |или вронскиант. |
|y((x0)=y(0… | |)ds))+a(t)c(t)e^((| |Для опр-ля |
|y(n-1)(x0)=y0n-1 | |t0,t)?a(s)ds))(a(t| |Вронского имеет |
|(2) | |)c(t)e^((t0,t)?a(s| |место след ф-ла |
|( услов. отлич-ся | |)ds))+b(t) | |W(x)=e^[-(x0,x)?a1|
|от нач-го наз-ся | |c((t)= | |(s)ds]W(x0) |
|краевым | |(e^(-(t0,t)?a(s)ds| |Д-во: |
|Для нач. задачи | |)))b(t) | |Правило: |
|(1)-(2) спр-ва | |c(t)=c+(t0,t)?(e^(| |Производная опр-ля|
|нелокальная Th: | |-(t0,()?a(()d()))b| |( n-опр-ей в 1ом |
|если ф-ии | |(s)ds | |из котор продифер|
|a1(x)…an(x) непр в| |x=ce^((t0,()?a(()d| |эл-ты 1 строки а |
|(a,b), то в нач. | |()+(t0,t)?e^[((t0,| |ост. без изм. во |
|задаче (1)-(2) ( | |t)?a(()d(e^((t0,()| |2м опр продиф |
|единств. реш-е и | |?a(()d()]b(s)d(s) | |эл-ты 2ой строки а|
|его можно считать | |(t0,t)?-(t0,()?=(t| |ост без измен и |
|опр-ым на (a,b). | |0,()?+((,t)?-(t0,(| |т.д. до n-го |
|Из этой Th =>ет | |)?=((,t)? | |пор-ка |
|однор. ур-е (1) | |Общий вид фор-лы | | |
|всегда имеет | |реш (1) | |{(то что в | | |
|нулевое реш-е кот | |x=e^((t0,t)?a(s)ds| |таких скобках это |
|удовл. нулевым | |)+ | |столбцы)} |
|начальным условиям| |(t0,t)?e^((t0,()?a| ||b1,b2..bn|=|b1(,b|
|y(x0)=0 | |(()d()b(s)ds | |2,…bn|+|b1,b2(…+bn|
|y(n)(x0)=0 | |(7)-реш-е(1) | ||+…+|b1,b2,…bn(| |
|Спр-во и обратное:| |x=x0e^(t0,t)?a(()d| | |
|если какое-либо | |(+(t0,t)?e^((t0,()| | |
|реш-е (1) удовл. | |?a(()d()b(s)ds | | |
|нул. нач усл то | |(8)-реш-е(2) | |возм. |
|это реш-е есть | |Проанализир. | |y(x)((y1(x)…yn(x))|
|тождественный | |структуру ф-лы (7)| |=> |
|ноль. | | | |y((x)=(y(1(x),… |
|Реш-е однор ур-я | |В(7) перв. слаг | |y(n(x)) |
|(1) обл. след. | |это общ реш | |y(n)(x)=(y(n)1…y(n|
|св-ми : 1) ( | |однородн. ур-я а | |)n) |
|реш-ий онор. ур-я | |второе слаг это | | |
|есть снова реш- | |частн реш-е | | |
|однор ур-я | |неоднор ур-я (1) | |W(x)=|y(x),y((x),…|
|2) ( реш-е (1) | |Т.о. общ реш | |y(n-1)(x)| |
|умнож на const это| |неоднородн ур-я | |W((x)=|y((x),y((x)|
|тоже реш-е однор | |складов. из общего| |… y(n-1)(x)| + |
|ур-я обозн. через | |реш соотв | ||y(x),y(((x)… |
|с(n)(a,b) совок. | |однородного ур-я и| |y(n-1)(x)|+…+|y(x)|
|всех n-раз непр. | |частного реш | |,y((x)… y(n-2)(x),|
|дифер ф-ий. Через | |неоднородного ур-я| |y(n)(x)| |
|с(a,b) – | | | | |
|пространство | | | |{||-столбцы!!!!} |
|непр-ых фун-ий. | |3 Ур-е Бернули | | |
|Обозн через | |Одно из немногих | | |
|L[y](x)=y(n)-a1(x)| |ур-ий котор м.б. | | |
|y(n-1)+..+any (3) | |проинтегрировано. | |y(n)(x)+a1(x)y(n-1|
|L перевод. | |ДУ м.б. проинт. | |)+…+an(x)y(x)=0 |
|с(n)(a,b) в | |если его общ реш-е| |y(n)(x)=a1(x)y(n-1|
|с(n)(a,b() | |можно представить | |)(x)-…-an(x)y(x) |
|(с(n)—L (C(a,b)) | |через элементар. | | |
|L[y] наз лин. | |ф-ии и операции | |W((x)=|y(x),y((x),|
|дифер опер-ом n-го| |интегрир | |y(((x)…(-a1(x) |
|пор-ка. Оперор L | |ДУ бернули наз | |y(n-1)(x)-an(x)y(x|
|обл. след св-ми: | |ур-е вида | |)|=|y(x),y((x)...-|
|1. | |x=a(t)x+b(t)x^( | |a(x) |
|L[y+z]=L[y]+L[z] | |(9) | |y(n-1)(x)|+|y(x),y|
|аддитивность(4) | |a(t) и b(t) непр | |((x),y(((x),…-a2(x|
|2. L[cy]=cL[y] (5)| |на (a,b) (-конст | |) y(n-2) |
|однородность (5) | |если (=0 то получ | |(x)|+…+|y(x)…-an(x|
|Исп. св-ва (4)-(5)| |ЛНДУ(не однор) | |) |
|диф. опер-ра | |если (=1 то получ | |y(x)|=-a(x)|y(x)…y|
|докажем св-во | |ЛОДУ (однор) | |(n-1)(x)|-…-an(x)||
|реш-я однор ур-я | |x(/x^(=a(t)(x/x^()| |y(x)…y(x)| |
|(1) | |+b(t); | | |
|1.Пусть y(x) и | |(d/dt)(x^(1-())=(1| | |
|z(x) 2 реш-я ур | |-()(1/x^()x( | |W(x)= -a(x)W(x) |
|(1) | |(1-()(x(/x^()=(1-(| |(5) |
|Покаж что | |)a(t)x^(1-()+(1-()| |Интегрир (5) |
|у(х)+z(x) так-же | |b(t) | |придем к (4) |
|реш-е | |(d/dt)(x^(1-())=(1| |W(x)=e^(-(1,x)?(1/|
|L[y+z]=L[y](x)+L[z| |-()a(t)x^(1-()+b(t| |s)ds); |
|](x)=1 | |)(1-() | |W(x0)=(1/x)W(x0) |
|L[y]=L[z]=0 => | |y:=x^(1-() (10) | | |
|L[y+z]=0 | |y(=(1-()a(t)y+b(t)| |2 Восстановлен |
|2.Пусть y(х) реш-е| |(1-() (11) | |диф-уры по известн|
|ур-я (1) L[y]=0 | |Для новой перем у | |фунд-ой системе |
|L[cy]=cL[y]=0 | |соотв ДУ явл | | |
|ч.т.д. | |неоднор | |y1(x)…yn(x) (6)- |
| | |Согластно ф-ле (7)| |система n-раз |
|2. Лин. зав-ть | | | |непр. диф-ых ф-ии |
|Матрица Вронского | |y=ce^[(1-()((t0,t)| |, опред. Вронского|
|П. зад. система | |?a(()d()]+ | |которой W(x)<>0 на|
|ф-ий | |(t0,t)?e^[(1-()((t| |a|
|числа c1…ck=0, то| |x(t)={(x0^(1-())e^| |0 |
|(6) наз лин | |[(1-()(t0,t)?a(()d| |Если раскрыть |
|независ. Предп. | |(]+(1-()(t0,t)?e^[| |напис здесь |
|далее что кажд. | |(1-()((,t)?a(()d(]| |опр-ль n+1 порядка|
|ф-я в (6) имеет | |b(s)ds}^1/(1-() | |по эл-ам |
|произв. до (n-1) | |(13) | |n+1 стороки, то |
|пор-ка | | | |мы перейдем к |
|включительно. | |4 Ур-е Риккати и | |диф-ю 1-го пор-ка |
|Сост. матрицу | |рез-т Лиувилля | |W(x)y(n)+…=0 |
|след. вида (8). | |x(=a(t)x^2+b(t)x+c| | |
| | |(t) (14)- ДУ | |3 Понижение пор-ка|
|W(x)=|Y(x)|(9) | |Риккати | |ур-я при известных|
|Матр. Y(x) наз | |Она не интегрир. | |частн реш-ях |
|матрицей | |(в квадратурах) | | |
|Вронского. | |этот факт был | |Рассмотр ДУ(1) и |
|Опредилитель такой| |доказан Лиувиллем | |предп. что имеет |
|матр. наз опр-ем | |{кто ему такую | |частное реш-е |
|Вронского. | |фамилию придумал? | |y0(x)<>0 |
|Утв. 1: если ф-ии | |Блин убил бы!!!} | |a=5 то не( | |y0(n-1)+…+y0(x)U(n|
|( с1…сn : | |общ ф-лы реш-я | |) |
|с1y1(x)+c2y2+..+cn| |такого ур-я | |Помножив |
|yn(X)=0 (10) | |Рассмотр. 914) | |соответственно на |
|продиф. (10) n-1 | |тогда его коэф | |an(x), |
|раз | |–конст. | |an-1(x)…a1(x),1 |
|система из (n-1) | |x(=ax^2+bx+c (15) | |И сложим почленно:|
|ур-й: | |a,b,c-const | | |
|c1y1’(x)+…+cnyn’(x| |D=b^2-4ac | |{y0(n)(x)+a1(x)y(n|
|)=0 | |1.Пусть D>0 тогда | |-1)0 (x) |
|c1y1(n-1)(x)+…+cny| |кв ур-е имеет 2 | |+…+an(x)y0(x)(0} |
|n(n-1)(x)=0 | |корня | |y0(x)U(n)+…(что-то|
| | |ax^2+bx+c=0 | |)..+U(n-1)+..+( |
|Последние соотн. | |x+_=(-b+_sqrt(D))/| |y0(n)(x)+a1(x)y(n-|
|можно переписать | |2a | |1)0 (x) |
|иначе: | |если a>0 то | |+…+an(x)y0(x))U(0 |
| | |кривульки напр. | |Введем замену z=U(|
|(( строки | |вверх | |(12) |
|переписать в | |2.D=0 x+=x- | |z(n-1)+b1(x) |
|столбцы) | |3.D<0 то ( 2 | |z(n-2)+…+bn-1(x)z=|
|c1(y1(x),y1’(x)..y| |компл. корня а кв | |0 (13) |
|1(n-1)(x))+… | |ур в 0 не обращ-ся| |Порядок понизился |
|+c1(yn(x),yn’(x)..| | | |на 1 и стал n-1 |
|yn(n-1)(x))+=0 | | | |если известн. k |
|(11) | | | |реш-ий, то можно |
| | | | |получить понижение|
|Соотн. (4) и | | | |на к и получить |
|доказ. лин. завис | | | |ф-лу n-k |
|столбцов матр | | | |y(x)=y0(x)(x0,x)?z|
|Вронского | | | |(s)ds (14) |
| | | | |Связь реш-я (1) с |
|3 Фунд. система | | | |реш-ем (13) |
|решений | | | |Выделенное реш-е |
| | | | |это не y0 а yn |
|Расм системк из n | | | |Предположение: |
|реш-ий однор ур-я | | | |Пусть : |
|(1) | | | |z1(x)…zn-1(x) фунд|
|y(x1) y2(x)…yn(x) | | | |сист реш-ий однор |
|(12) | | | |ур-я (13) Тогда |
|Такая система ф-ий| | | |ф-ии |
|наз. фунд. если | | | |{y1(x)(yn(x)(x0,x)|
|это ф-ии лин. | | | |?z1(s)ds, |
|независ между | | | |y2(x)(yn(x)(x0,x)?|
|собой. Эти ф-ии | | | |z2(s)ds,…., |
|реш-е однор. ур-я | | | |yn-1(x)(yn(x)(x0,x|
|2) Их обязат. n | | | |)?zn-1(s)ds |
|штук 3)Лин. | | | |yn(x)} (16) |
|независ. они | | | |пусть нек лин |
|Докаж что фун. | | | |ком-я ф-ий сист |
|сист реш-ий (ет. | | | |(16) |
|Выберем произв. | | | |равна нулю, т.е. (|
|квадратичную | | | |C1…Cn-1,Cn |
|невыраженную матр.| | | |C1y1(x)+…Cn-1yn-1(|
| | | | |x)+Cnyn(x)(0 |
| | | | |yn(x)(c+(x0,x)?z1(|
| | | | |s)ds+…+cn-1(x0,x)?|
|Определим ф-ии | | | |zn-1(s)ds+cn=0 |
|y1(x)…yn(x), так | | | |По усл уn(x)<>0 =>|
|что y1(х0)=y01 | | | |на нее можно |
|yn(x0)=y0n | | | |сократить и продиф|
|y(1(х0)=y0(1 | | | |остав. выр-е: |
|y(n-1)1(x0)=y0(n-1| | | |c1z1(x)+…+cn-1zn-1|
|)1 | | | |(x)=0 => |
|По нелокальной Th | | | |c1=…=cn-1=0 => |
|эти ф-ии ( и они | | | |cnyn(x)=0 => cn=0 |
|лин независ т.к. в| | | |т.к. yn(x)<>0 |
|противном случае | | | | |
|столбцы матр. Y(x)| | | |4--------------- |
|буд. лин. завис | | | |y((+p(x)y(+g(x)y=0|
|между собой, что | | | |(17) |
|противоречит | | | |Пусть z=y(/y , |
|предп. что Y0 | | | |y<>0 (18) |
|Пришли к | | | |y((/y+p(x)y(/y+g(x|
|противореч. ЧТД | | | |)=0 y(=zx |
|Утв2: Если ф-ии в | | | |y((=z(y+zy(; |
|сист (12) лин. | | | |z(+zy(/y+p(x)y(/y+|
|независ , то опр | | | |g(x)=0 (19) |
|Вронского ни в | | | |получидли ур-е |
|одной точке не | | | |Риккати (нелин-е) |
|обр. в 0. Для | | | | |
|произв. сист. ф-ий| | | |5----------- |
|это утв. неверно. | | | |Если частн. реш-е |
|Д-во Пусть ф-я | | | |(17), то после |
|y1(x)…yn(x) лин. | | | |понижения получ |
|независ , но ( | | | |ур-е 1-го пор-ка |
|х0((a,b) котор | | | |y2(x)=y1(x)(x0,x)?|
|W(x0)=0.Тогда | | | |1/(y12(s))e^[-(x0,|
|можно зап-ть след | | | |()?p(()d(]ds (20) |
|сист. ( c1…cn: | | | | |
|система из (n-1) | | | | |
|ур-й (14): | | | | |
|c1y1(x0)+…+cnyn(x0| | | | |
|)=0 | | | | |
|c1y1’(x0)+…+cnyn’(| | | | |
|x0)=0 | | | | |
|………………………………………………| | | | |
|…… | | | | |
|c1y1(n-1)(x)+…+cny| | | | |
|n(n-1)(x)=0 | | | | |
|Эта сист. для | | | | |
|нах-я констант | | | | |
|т.к. они явл. | | | | |
|неизв. обознач. | | | | |
|через с1,с2…сn | | | | |
|реш-е системы (14)| | | | |
|это реш-е | | | | |
|ненулевое и оно (,| | | | |
|т.к. определитем | | | | |
|этой системы явл.| | | | |
|опред-ль Вронского| | | | |
| | | | | |
|y0 | | | | |
|(x)=c01y1(x)+c02y(| | | | |
|x)+…+c0nyn(x) (16)| | | | |
| | | | | |
|Если нач. усл. для| | | | |
|этой ф-ии y0 | | | | |
|(x0)=0 y(x0)=0 | | | | |
|y(n-1)(x0)=0 | | | | |
|y(x0)(0 (*) ( | | | | |
|c01y1(x)+…+c0nyn(x| | | | |
|)(0 (16) | | | | |
|По сл-ю из | | | | |
|нелокальной Th ф-я| | | | |
|котор удовл нул | | | | |
|нач есть тожд 0 | | | | |
|т.е. (*) что | | | | |
|противоречит лин | | | | |
|зав ф-ии y1…yn | | | | |
|ЧТД | | | | |
| | | | | |
|4 Th об общем | | | | |
|решении : | | | | |
|Пусть y1…yn это | | | | |
|фунд сист реш-ий | | | | |
|однородн ур-я (1) | | | | |
|Тогда ( реш-е | | | | |
|этого ур-я можно | | | | |
|предст. в виде лин| | | | |
|комб.: | | | | |
|y(x)= | | | | |
|c1y1(x)+…+cnyn(x) | | | | |
|(17) в котор | | | | |
|с1...сn однозначно| | | | |
|опр-ся выбором | | | | |
|реш-ий | | | | |
|y1(x)..yn(x) | | | | |
|Д-во | | | | |
|( комб. реш-я | | | | |
|однор ур-я это | | | | |
|есть реш-е | | | | |
|однородн ур-я => (| | | | |
|из реш-ий | | | | |
|представимо ввиде:| | | | |
| | | | | |
|Пусть x0 нек. | | | | |
|точка из (a,b) | | | | |
|Рвссмотр. сист лин| | | | |
|неоднородн ур-ий | | | | |
|след вида: | | | | |
|c1y1(x0)+…+cnyn(x0| | | | |
|)=y(x0) | | | | |
|c1y1’(x0)+…+cnyn’(| | | | |
|x0)=y’(x0) | | | | |
|………………………………………………| | | | |
|…… | | | | |
|c1y1(n-1)(x)+…+cny| | | | |
|n(n-1)(x)=y(n-1)(x| | | | |
|0) | | | | |
|Определителем этой| | | | |
|системы явл | | | | |
|W(x0)<>0 Сист (18)| | | | |
|имеет нек решение | | | | |
|: ( (1…(n по этим | | | | |
|числам можно | | | | |
|сост-ть ф-ю | | | | |
|y0 | | | | |
|(x)=c01y1(x)+c02y(| | | | |
|x)+…+c0nyn(x) (19)| | | | |
|и нетрудно | | | | |
|заметить что нач. | | | | |
|усл. для Y(х) и | | | | |
|для y0(x) | | | | |
|cовпад.Между | | | | |
|собой. | | | | |
|Тогда 2 ф-ии | | | | |
|удовл. одним и | | | | |
|тем-же нач усл. по| | | | |
|Th единственности| | | | |
|совпад всюду | | | | |
|y(x)(y0(x) ЧТД | | | | |
1 2 3 4 5 6 7
