Шпора по математическому анализу .

|Лекция №14.       | |лекция №1.        | |Лекция №2.        |
|Линейные          | |*соотношение      | |Уравнения с       |
|колебания.        | |связывающее       | |разделяющимися    |
|1)Свободные       | |независимую пер.  | |пер-ми.           |
|колебания линейной| |x, ф-ю y(x) и     | |*пусть ур-е имеет |
|системы без       | |некот. кол-во ее  | |вид y’=f(x) (1)   |
|трения.           | |производных назыв.| |тогда dy/dx=f(x) и|
|2)Свободные       | |диф. ур.          | |предполагая что   |
|колебания линейной| |*порядком д.у.    | |f(x) определена и |
|системы с трением.| |наз. порядок      | |непр. на (a,b)    |
|                  | |старших произв.   | |можно записать    |
|3)Вынужленные     | |входящих в это    | |dy=f(x)dx (2),    |
|колебания линейной| |д.у.              | |проинтегрируем обе|
|системы без       | |предположем что в | |части  (dy=(f(x)dx|
|трения.           | |пр-ве пер-х x,y,z | |y=(f(()d(+c (3).  |
|4)Вынужленные     | |задана ф-я F на   | |Соотнош. (3)      |
|колебания линейной| |некотор.области G.| |задает общ. реш-е |
|системы с трением.| |                  | |ур-я (1) и зависит|
|                  | |*соотношение      | |от одной          |
|az’’+bz’+cz=h(t)  | |связывающее       | |постоянеой. Иначе |
|a,b,c(R           | |независимую пер.  | |общ. реш-е можно  |
|h(t)-комплексная  | |x, ф-ю y(x) и ее  | |запис. в виде     |
|ф-я: f(t)+ig(t)   | |первую производную| |                  |
|az’’+bz’+cz=f(t)+i| |y’(x) назыв. диф. | |y=(x0,x)(f(()d(+c |
|g(t)              | |ур. 1-го порядка. | |(4) в этом случае |
|z(t)=x(t)+iy(t)   | |*искомое д.у. явл.| |y(x0)=c; в этом   |
|a(x’’+iy’’)+b(x’+i| |ф-я y(x). Если    | |случае            |
|y’)+c(x+iy)=f+ig  | |ищем ф-ю одной    | |y(x)=y0+(x0,x)(f((|
|ax’’+bx’+cx+i(ay’’| |пер., то ур-е наз.| |)d(   y(x)=y0 (5) |
|+by’+cy)=f+ig     | |обыкновенным. Если| |*пусть д.у. имеет |
|ax’’+bx’+cx=f(t)  | |искомой явл. ф-я  | |вид y’=g(y) (6);  |
|ay’’+by’+cy=g(t)  | |нескол. пер-х, то | |ф-я g(y) опр. и   |
|если z(t) компл.  | |д.у. наз. ур-м в  | |непр. в [c,d]     |
|реш. то его вещ. и| |частных произв-х  | |предположим что   |
|мним. части явл.  | |(ур-е Лапласа).   | |g(y) не обращается|
|реш-м вещ. ур-й   | |*ф-я y=f(x) опред.| |в 0; dy/dx=g(y)   |
|правой части      | |на некот.         | |или dx/dy=1/g(y)  |
|котор.равны       | |интервале наз.    | |(7). В виде (7)   |
|соответ. вещ. и   | |решением ур-я если| |ур-е явл. точно   |
|мним.             | |выполняются след. | |таким же ур-е (1) |
|az’’+bz’+cz=pe^(iж| |условия:          | |т.е. можно        |
|t) (ж-каппа)      | |1.f(x) диф-ма в ( | |интегрировать:    |
|L(iж)<>0          | |точке обл. опр.   | |dx=dy/g(y)        |
|z=qe^(iжt)-реш-е  | |(f’(x) не равно   | |(dx=(dy/g(y)      |
|ур-я              | |оо.               | |x=(y0,y)(dy/g(y)+c|
|z’=qiжe^(iжt);    | |2.(x: x,f(x),f’(x)| |(8)  Представление|
|z’’=q(iж)^2e^(iжt)| |принадлежат       | |(7) позволяет     |
|(-aж^2+biж+c)qe^(i| |области G, на     | |сделать x ф-ей y, |
|жt)=pe^(iжt)      | |кот.опр-на F(G).  | |y-независ. пер.;  |
|q=p/(-aж^2+biж+c) | |3.(x: ф-я f(x)    | |(8) задает общий  |
|z(t)=e^(iжt)p/(-aж| |обращ. ур-е в     | |интеграл для ур-я |
|^2 +biж+c) p>0 p(R| |тождество         | |(6);              |
|Выделим вещ и мним| |(((x,f(x),f’(x))=0| |x=x0+(y0,y)(dy/g(y|
|части:            | |.                 | |) y(x0)=y (9); (9)|
|z(t)=(cosжt+isinжt| |*д.у. 1-го пор.   | |задает частичный  |
|)p(1/(-aж^2+biж+c)| |разрешенное       | |интегралдля ур-я  |
|)=p(cosжt+isinжt)(| |относит.произв.   | |(6). Для того     |
|-aж^2-biж+c)/((-aж| |имеет след. вид   | |чтобы точно       |
|^2+biж+c)(-aж^2-bi| |y’=f(x,y) (*), где| |проанализировать  |
|ж+c)=p(cosжt+isinж| |y’=dy/dx          | |ур-е (6)          |
|t)(-aж^2-biж+c)/((| |dy/dx=f(x,y)      | |выписывают ур-е   |
|-aж^2+c)^2+(biж)^2| |y’=dy/dt          | |g(y)=0 (10) теперь|
|)=(коля не        | |*реш-е ур-я 1-го  | |можно найти его   |
|дописал).         | |пор.всегда зависит| |корни: если       |
|1)Свободные       | |от 1-ой произв.   | |(y0:g(y0)=0 то    |
|колебания линейной| |постоянной. Ур-е  | |ур-е (6) имеет    |
|системы без трения| |n-го порядка зав. | |реш-е y=y0. для   |
|описываются в     | |от n произв.      | |того чтобы        |
|след. виде:       | |постоянных.       | |изобразить все    |
|dІx/dtІ+aІx=0 a<>0| |*для того чтобы   | |интегр. кривые (6)|
|(1).              | |найти реш-е       | |сначала изображают|
|kІ+aІ=0-характерис| |ур-я(*) проход.   | |интегр. кривую    |
|тическое ур-е (2) | |через заранее зад.| |проход. через     |
|k1,2=+-ia; e^(iat)| |точку ставят      | |т.(x0,y0),        |
|e^(-iat)          | |начальное усл-е:  | |остальные получ.  |
|x=c1cosat+c2sinat-| |y(x0)=y0 (**).    | |сдвигомоси ox,    |
|общее ур-е (3) или| |*найти реш-е ур-я | |реш-е не выходит  |
|запис в след виде | |(*) удовлет. зад. | |из [c,d].         |
|x=Asin(at+() A>0  | |нач. усл-ю (**)   | |* пусть ур-е имеет|
|(4)               | |означает решить   | |вид y’=f(x)g(y)   |
|A(sinatcos(+cosats| |нач. задачу Коши. | |(11) f(x)         |
|in()(тожд.=)      | |Известно что нек. | |определена и непр.|
|с1cosat+c2sinat   | |ф-я y=y(x,c)      | |на (a,b) g(y) опр.|
|Acos(=c2 Asin(=c1 | |c=(const (***)    | |и непр. в [c,d]   |
|AІcosІ(+AІsinІ(=c1| |такая что         | |тогдаправая часть |
|І+c2І= значит     | |подходящим выбором| |опр. в области G, |
|A=sqrt(c1І+c2І)   | |с из нее можно    | |кот. опред. по x  |
|sin(=c1/A         | |получитьлюбое     | |интервал[a,b], по |
|cos(=c2/A         | |реш-е ур-я (*),   | |y-[c,d] g(y) y    |
|tg(=c1/c2         | |тогда ф-я (***)   | |неравно 0.        |
|A-амплитуда       | |наз. общим реш-м  | |Для реш-я (11)    |
|колебаний         | |ур-я(*), каждое   | |нужно разделить   |
|a-частота (-нач.  | |конкретное реш-е  | |пер-е:            |
|фаза. aT=2(       | |ур-я (*) наз.     | |dy/dx=f(x)g(y)    |
|T=2(/a-период     | |частным реш-м ур-я| |dy/g(y)=f(x)dx    |
|колебаний         | |(*).              | |(dy/g(y)=(f(x)dx+c|
|a/2(-число кол. в | |если есть         | |(12). (12) задает |
|единицу времени.  | |представление     | |общий интеграл для|
|Ур-е (1) часто наз| |(***), то реш-е   | |ур-я (11). Если   |
|гармонич.         | |ур-я (*) задано   | |удается отсюда    |
|осициллятора      | |явно; если        | |явно выразить y от|
|(’’+(g/l)sin(=0,  | |f(x,y)=0 неявно и | |x, то получаем    |
|считают что колеб | |ф-я f(x,y)=0      | |общ.  реш-е.      |
|малее, sin(=(     | |наз. частным      | |Предположем что   |
|(’’+(g/l)(=0 (ур-е| |интегралом.       | |y=((x), ее можно  |
|(1)) aІ=g/l       | |*если удалось     | |представить в     |
|T=2(/a=2(sqrt(l/g)| |найти ф-ю         | |(11):             |
|                  | |f(x,y,c)=(пуст.   | |y’=f(x)g(((x))    |
|2)Свободные       | |мн-во), кот.      | |g<>0              |
|колебания линейной| |охватывает все    | |y’/g(((x))=f(x)   |
|системы с трением:| |частные интегралы,| |(13) Домножим обе |
|dІx/dtІ+2ndx/dt+aІ| |то она наз. общим | |части (13) на dx и|
|x=0 (5)           | |интегралом.       | |проинтегр.        |
|0=a-сопр. велико;| |общий интеграл    | |)dx  dy=(’(x)dx   |
|kІ+2nk+aІ=0 (6)   | |эквивалентны      | |((’(x)dx/g(((x))=(|
|k1,2=-n+-isqrt(aІ-| |f(x,y,y’)=0 и     | |dy/g(y) Замена    |
|nІ)  sqrt(aІ-nІ)=b| |Ф(x,y,c)=0.пусть  | |справедлива если  |
|Выпиш. компл реш-я| |задано семейство  | |((x) не обращается|
|(1): e^(-nt+ibt)  | |линий ур-м        | |в 0.              |
|e^(-nt-ibt) Выпиш | |Ф(x,y,c)=0 иначе  | |                  |
|вещ реш-я:        | |говоря задан общий| |Однородные диф.   |
|x=e^(-nt)(c1cosbt+| |интеграл. Для того| |ур-я.             |
|isinbt) (c1,c2(R  | |чтобы восстан.    | |Ур-е 1-го порядка |
|(7)               | |д.у. необходимо   | |y’= f(x,y) (1)    |
|x=Ae^(-nt)sin(bt+(| |ф-ю Ф(x,y,c)=0    | |однородно если    |
|) (8)             | |продиф. по x      | |f(ax,ay)=af(x,y)  |
|Ae^(-nt)-перем.   | |Ф’x(x,y,c)+       | |(2).              |
|амплитуда         | |Ф’y(x,y,c)*y’=0 из| |Ур-е n-го порядка |
|b-частота если n  | |этого соотношения | |однородно если    |
|мало то b примерно| |нужно выразить    | |f(ax,ay)=a^nf(x,y)|
|=a. Логорифмич.   | |произв. пост. с,  | |.                 |
|декремент         | |она будет зависеть| |Если ф-я f(x,y)   |
|затухания T=2(/b  | |от x,y и y’ и     | |удолетворяет      |
|T/2=(/sqrt(aІ-nІ);| |затем вернуться к | |условию (2) то    |
|e^(-n(t0+T/2))=e^(| |F(x,y,y’)=0.      | |можно записать    |
|-nt0)e^(-nT/2);   | |*д.у. y’=f(x,y)   | |x<>0 f(x,y)=      |
|-e^(-nT/2=(n/sqrt(| |определена на     | |f(x*1,x*y/x)=     |
|aІ-nІ)-л.д.з.     | |пл-ти (x,y) –     | |f(1,y/x) = =g(y/x)|
|3)Вынужленные     | |фазовая пл-ть.    | |f(x,y)=g(y/x)     |
|колебания линейной| |!!!!!!рис.!!!!!!  | |f(1,u)=g(u) (3). В|
|системы без       | |1.Зафикс. в       | |силу соотношения  |
|трения:           | |области           | |(3) ур-е (2) имеет|
|dІ/dtІ+aІx=psin(t | |определение ф-и f | |вид y’=g(y/x) (4).|
|(9) a,p,(>0       | |нек. точку с корд.| |Это ур-у не явл.  |
|a-частота собств  | |(x,y).            | |ур-м с разд. пер. |
|колеб;            | |2.Подставим зн-е  | |но может быть     |
|p-амплитуда;      | |ф-и f в зад-й     | |сведено к нему    |
|(-частота ;e^(i(t)| |точке             | |заменой u=y/x (5):|
|надо следить что  | |f(x,y)=y’=tga.    | |y=ux y’=u’x+u     |
|i(=+-ia;          | |3.y’=tga через    | |подставим в (4)   |
|*)(<>a-нерезонансн| |(x,y) проводят    | |u’x+u=g(u)        |
|ый случай.        | |отрезок единичной | |xdu/dx=g(u)-u     |
|x=(cos(t+(sin(t   | |ф-и кот образует  | |du/(g(u)-u)=dx/x  |
|(=0(=p/(aІ-(І)    | |угол a с положит. | |(6) проинтегр.(6) |
|x=Asin(at+()+psin(| |напр. оси x.      | |g(u)-u<>0         |
|t/(aІ-(І) (10) –  | |4.Теоретически эта| |(du/(g(u)-u)=ln|x||
|общее реш-е (9);  | |процедура         | |+c (7) Соотношение|
|если A и (        | |проводится в      | |(7) задает общий  |
|соизмеримы то это | |каждой точке      | |интеграл для ур-я |
|период ф-я; если A| |области           | |(4) после этого   |
|и ( несоизм (их   | |определения ф-и f | |возвр. к x, y.    |
|отн иррац) то это | |и получают        | |Выпис. ур-е       |
|непериод ф-я; если| |совокупность      | |g(u)-u=0 (8) и    |
|0<(a  | |совокупность и    | |ур-я (1).         |
|то                | |задает поле       | |                  |
|psin((t+()-амплиту| |напрвлений.       | |Ур-я в диф-лах.   |
|да, говорят в этом| |*геометр. образ   | |A(x,y)dx+B(x,y)dy=|
|случае            | |реш-й y=w(x) или  | |0 (1)-общий вид   |
|чтоколебания      | |его график наз.   | |ур-я в диф-лах.   |
|происходят в      | |интегр. кривой, а | |Это ур-е явл. ур-м|
|противофазе.      | |всевозм.          | |в полных диф-лах  |
|Частота внеш сил  | |инт.кривые задают | |если (такая неотр.|
|не совпадает с    | |фазовый портрет.  | |диф. ф-я u(x,y)   |
|собств частотой;  | |известен график   | |что полный диф-л  |
|**)если           | |реш-я д.у. Зафикс.| |du(x,y)=((x,y)dx+B|
|(=a-резонансный   | |произв. точку и   | |(x,y)dy du(x,y)=0 |
|случай.           | |проведем через нее| |(2) в этом случае |
|x=((cos(t+(sin(t)t| |касательную.      | |общий интеграл для|
|(!) если част.    | |Касат. обраует    | |ур-я (1) имеет вид|
|реш. (9) исп в    | |угол b с x; (tgb а| |u(x,y)=c (3).     |
|виде (!) то       | |значит ( зн-е     | |Пусть задана ф-я  |
|(=-p/2a и (=0 а   | |производной.      | |u(x,y):           |
|значит общее реш  | |y’=f(x,y) Т.к.    | |(u(x,y)/(y<>0     |
|(9) имеет вид     | |w(x) есть реш-е   | |тогдаур-е (3) (по |
|x=Asin(at+()-ptcos| |нашего д.у. то    | |теореме о неявн.  |
|(t/2a (11)        | |w’(x)=tgb=f(x,w(x)| |ф-и) разрешено (c.|
|ptcos(t/2a        | |)=f(x,y)=tga. Угол| |Обозначим реш.    |
|–вековой член     | |a  задает наклон  | |этого ур-я через  |
|из-за него        | |поля к точке      | |y(x) тогда        |
|происходит явление| |(x,y).            | |u(x,y(x))=c (4).  |
|резонанса.   (коля| |Особнность: в     | |Продиф-м по x:    |
|написал что нету  | |кажд. т. интегр.  | |(u(x,y)/(x+y’(x)(u|
|ф-лы (12)).       | |кривой касат. и   | |(x,y)/(y=0 (5)    |
|4)Вынужленные     | |наклон поля       | |умножим на dx     |
|колебания линейной| |совпадают между   | |y’(x)dx=dy т.к.   |
|системы без       | |собой.            | |(u(x,y)/(x=A(x,y);|
|трения:           | |*Метод Изоклин:   | |((x,y)/(y=B(x,y)  |
|dІx/dtІ+2ndx/dt+aІ| |1.правая часть    | |(6) то y(x) явл.  |
|x=psin(t (13)     | |д.у.              | |реш-м ур-я (1).   |
|0(;  | |                  | |((y)=(y0,y)(N(x0,y|
|q=(/2 if a=(;     | |                  | |)dy+c             |
|-(<(<0 if a<(.    | |                  | |u(x,y)=(x0,x)(Mdx+|
|                  | |                  | |(y0,y)(N(x0,y)dy+c|
|                  | |                  | |ч.т.д.            |
|                  | |                  | |Часто ур-е в      |
|                  | |                  | |диф-лах можно     |
|                  | |                  | |привести к ур-ю в |
|                  | |                  | |полных диф-лах    |
|                  | |                  | |путем умножения на|
|                  | |                  | |некот. ф-ю m(x,y) |
|                  | |                  | |m(x,y)A(x,y)dx+m(x|
|                  | |                  | |,y)B(x,y)dy=0 (8) |
|                  | |                  | |m(x,y)-интегрирующ|
|                  | |                  | |ий множитель.     |
|                  | |                  | |                  |
1 2 3 4 5 6 7