|Лекция №5. | | | | |
|f(x) x([a,b] | | | | |
|Говорят что f | | | | |
|удовл. условию | | | | |
|Липшица если имеет| | | | |
|место след. оценка| | | | |
||f(x)-f(y)|<= | | | | |
|<=L|x-y| (1) или | | | | |
||(f|<=L|(x| | | | | |
|постоянная L наз. | | | | |
|постоян. Липшица. | | | | |
|Условие Липшица не| | | | |
|означает что ф-я | | | | |
|диф-ма (например | | | | |
|y=|x|). | | | | |
|Пример: ( кусочно | | | | |
|непр.ф-я , график | | | | |
|которой явл. | | | | |
|ломанной кривой | | | | |
|удолетворяет | | | | |
|условию Липшица. | | | | |
|1.Если ф-я диф-ма | | | | |
|на отрезке и ее | | | | |
|производная | | | | |
|ограничена то она | | | | |
|удолетв. усл-ю | | | | |
|Липшица (причем в | | | | |
|кач-ве L можно | | | | |
|взять ее точн. | | | | |
|верх. грань | | | | |
|значения модуля ее| | | | |
|производной : | | | | |
|L=sup|f(x)| ). | | | | |
|2.Обратно: если | | | | |
|ф-я диф-ма и | | | | |
|выполнено усл-е | | | | |
|Липшица, то модуль| | | | |
|производной | | | | |
|ограничен. | | | | |
|Док-во: | | | | |
|1.f(x)-f(y)=f’(x+(| | | | |
|(y-x))(x-y) | | | | |
|0<(<1; | | | | |
|f(x)-f(y)<=|f’(x+(| | | | |
|(y-x))||x-y| | | | | |
|a<=x<=b | | | | |
|2.|f(x+(x)-f(x)|/|| | | | |
|(x|<=L (x(0 | | | | |
|sup|f’(x)|<=L | | | | |
|ч.т.д. | | | | |
|Теорема | | | | |
|Коши-Липшица. | | | | |
|y’=f(x,y) y(x0)=y0| | | | |
|D={|x-x0|<=a, | | | | |
||y-y0|<=b} | | | | |
|!!!!!!рис.!!!!!! | | | | |
|f непрерывна по | | | | |
|переменной x и | | | | |
|удолетворяет | | | | |
|условию Липшица. | | | | |
