Шпора по математическому анализу .

|6.                | |11. Линейные      | |12. Лин однор     |
|Дифференциальные и| |однородные диф.   | |дифуры(ЛОДУ) n-го |
|интегральные      | |ур-я n-го порядка | |порядка с пост    |
|неравенства.      | |с пост коэф(случ  | |коэф (случ кратн  |
|1)Т. Чаплыгина о  | |прост корней).    | |корней).          |
|дифференциальных  | |1)Хар мн-н и мет  | |1)Хар ур-е и мет  |
|неравенствах.     | |Эйлера            | |Лагранжа          |
|2)Лемма о линейных| |2)Комплексная     | |2)Ф-ла смещения   |
|диф. нер-ах.      | |теорема об общем  | |3)Теор об общ     |
|3)Т. Райда об     | |решении           | |компл реш-ии      |
|интегральных      | |3)Выделение       | |4)Теор об общ вещ |
|неравенствах      | |вещественного     | |реш-ии            |
|4)Лемма Беллмана о| |решения из        | |                  |
|лин. интегр.      | |комплексного      | |1:)Хар ур-е и мет |
|нер-ах.           | |4)Вещ теор об общ | |Лагранжа          |
|                  | |реш.              | |Рассмотрим ЛОДУ   |
|1:) Т. Чаплыгина о| |                  | |n-го порядка с    |
|дифференциальных  | |1:) Хар мн-н и мет| |пост коэф:        |
|неравенствах.     | |Эйлера            | |y(n)+a1y(n-1)+...+|
|Введём в          | |y(n)+a1y(n-1)+...+| |any=0 (1).        |
|рассмотрение      | |any=0  (1) – лин  | |a1,...,an(R или   |
|прямоуг. D+=(x,y):| |диф ур-е n-го     | |(C. Сопост этому  |
|x0<=x<=x0+a,      | |порядка;          | |ур-ю хар ур-е:    |
||y-y0|<=b} (1) и  | |a1,a2,...,an(R или| |L(()=(n+a1(n-1+...|
|рассмотрим на этом| |(С. Из нелок теор | |+an=0 (2). По осн |
|прямоуг. ф-ю      | |(-я ед-ти, для    | |теор алгебры мн-н |
|f(x,y), непр. по  | |(нач усл вида     | |имеет n-корней,   |
|совок. перем.     | |y(x0)=y0,...,y(n-1| |если кажд корень  |
|удовл усл Липшица | |)(x0)=y0(n-1).    | |считать столько   |
|по второй перем.  | |Ур-е (1) имеет ед | |раз, какова его   |
|По Т. Коши-Липшица| |реш, и это реш    | |кратность.        |
|( начальная задача| |определено на всей| |(1,...,(n;        |
|y’=f(x,y)         | |числовой прямой.  | |k1+...+ks=n (3).  |
|x0<=x<=x0+a (2)   | |y=e(x (2), буд    | |k1,..,ks-кратность|
|имеет ед реш на   | |искать реш-я (1) в| |.                 |
|[x0,x0+a].        | |таком виде, где ( | |L(()=((-(1)k1((-(2|
|Т. Чаплыгина:     | |подлежит          | |)k2... ((-(s)ks   |
|Пусть дифференциал| |определению.      | |(4). Рассм след   |
|ф-ии U(x):        | |y=e(x, y’=(e(x,   | |сист ф-ий:        |
|U’(x)<=f(x, U(x)) | |y(n)=(ne(x;       | |y1(x)=e([1]x;     |
|x0<=x<=x0+a (3)   | |((n+a1(n-1+...+an)| |y2(x)=xe([1]x;...;|
|U(x0)<=y0 (4).    | |e(x=0, e(x(0.     | |yk[1](x)=xk[1]-1e(|
|Пусть ф-я V(x) явл| |(n+a1(n-1+...+an=0| |[1]x;             |
|решением нач      | |(3). Решение вида | |yk[1]+1(x)=e([2]x;|
|задачи V(x):      | |(2) (-ет тогда и  | |...;              |
|V’(x)=f(x,V’(x)), | |только тогда,     | |yk[1]+k[2](x)=xk[2|
|x0<=x<=x0+a (5),  | |когда (-ют корни  | |]-1e([2]x;...;    |
|V(x0)=y0 (6),     | |(3). Это уравнение| |yk[1]+...+k[s-1]+1|
|тогда U(x)<=V(x), | |называется        | |(x)=e([s]x;       |
|x0<=x<=x0+a. Здест| |характеристическим| |yk[1]+...+k[s-1]+2|
|ф-я f(x,y) опр в  | |, а его корни     | |(x)=xe([s]x;      |
|прямоуг. D+ и     | |наз-ся            | |yn(x)=x([s]-1e([s]|
|обладает всеми    | |характеристическим| |x. (5) Это лин-нез|
|перечисленными    | |и корнями, а мн-н | |решения. Их n     |
|выше свойствами.  | |характеристическим| |штук. Идея        |
|Д-во: предп       | |. Согласно        | |Лагранжа:         |
|сначала, что вып  | |основной теореме  | |(e((+(()x-e(x)/(((|
|строгое н-во:     | |алгебры, мн-н n-ой| |xe(x.             |
|U’(x) | |кажд корень       | |дифференциальный  |
|U(x0)=V(x1). | |реш-ий (1). Если  | |/dx)f(x)e(xf(x)+be|
|Таким образом     | |корни кратные, то | |(xf(x)=a((e(xf(x))|
|между х0 и х1 (   | |в (5) будут       | |+e(xf(x)*(d/dx)+be|
|такие х, в кот U и| |повторяющиеся     | |(xf(x)=           |
|V совпадают. Обозн| |решения, и напис  | |=e(x{apf(x)+a(f(x)|
|кажд из этих точек| |решений будет     | |+bf(x)}=e(xf(x){a(|
|через х*:         | |недостаточно.     | |p+()+b}=e(xf(x)L(p|
|U(x*)=V(x*).      | |2:) Теорема об    | |+();              |
|Ограничимся       | |общем комплексном | |L(p)=M(p)N(p)     |
|рассмотрением инт | |решении:          | |L(p){e(xf(x)}=(M(p|
|x0<=x=x*. Имеем:  | |Пусть  хар-е корни| |)N(p)){e(xf(x)}=M(|
|_ U(x)(V(x)-V(x*))/(x-| |компл числа для   | |=e(xf(x)L(p+();   |
|x*)               | |(i=1..n.          | |(j(x)=e(xxj;      |
|и перейд к lim при| |Д-во: Н-но д-ть,  | |j=0,1,...,k-1 (8).|
|x(x*              | |что ф-ии (5) образ| |                  |
|U’(x*)>V’(x*)  (*)| |фунд сист, т.е.   | |Докажем, что кажд |
|                  | |что ф-ии (5)      | |из ф-ий в (8) явл |
|V’(x*)=f(x*,U(x*))| |лин.-нез.         | |реш-ем (1).       |
|=f(x*,U(x*))>U’(x)| |Посчитаем         | |L(p)=M(p)(p-()k;  |
|                  | |вронскиант (5):(от| |L(p)((x)=L(p){e(xx|
|V’(x*)>U(x*) (**) | |меня: Л=(): (7)   | |j}=e(xxjL(p+()(=) |
|Н-ва (*) и (**)   | |=>(5) явл фунд.   | |использовалась    |
|противоречат друг | |Теор д-на         | |формула смещения  |
|другу, что и      | |3:) Выделение     | |(=)e(xxjM(p+()pk=0|
|доказывает строгое| |вещественного     | |, т.к. pkxj=0.    |
|н-во U(x)j;   |
|x0<=x<=x0+a.      | |комплексного.     | |pkxj=k!, if k=j;  |
|Предположения     | |Пусть зад (1),    | |pkxj=j(j-1)...(j-k|
|U’(x)<=f(x,U(x)), | |когда a1,...,an(R.| |+1)xj- k,if k=U(x), и        | |(2j=(j-i(j,j=1,..,| |(10).(???)        |
|g(x,y)=f(x,U(x)),ф| |k (8). Т.о.       | |L(p)(1(x)=e(xL(p+(|
|if y=k, тогда м-но  |
|перем, с той-же   | |(2k+1,...,(n(R.   | |взять ф-ю (l((),  |
|пост, что и       | |Полученные вещ реш| |тогда pl(l(x)=l! и|
|f(x,y). Введём в  | |ур-я (1). Выдел   | |M(p+()l!=0. Пусть |
|рассмотрение ф-ю  | |вещ реш-я из      | |p=0, тогда M(()(0.|
|W(z), как реш нач | |компл: y2j-1(x)=  | |                  |
|зад               | |e((2j-1)x;        | |                  |
|W’(x)=g(x,W(x)),  | |y2j-1(x)= e((2j)x;| |3:)Теор об общ    |
|x0<=x=x0+a (7).   | |y2k+1(x)=         | |компл реш-ии      |
|W(x0)=y0 (8). Ф-я | |e((2k+1)x;        | |В уравнении (1)   |
|V(x) ( и опр-ся   | |yn=e(nx; (9).     | |общее комплексное |
|единственным      | |y=c1y1(x)+c2y2(x)+| |решение имеет вид:|
|образом. Н-но     | |...+c2k-1y2k-1(x)+| |c1y1(x)+...+cnyn(x|
|пок-ть, что       | |c2ky2k(x)+        | |) (11), где       |
|U(x)<=W(x),       | |c2k+1y2k+1(x)+..+c| |c1,...,cn(C-произв|
|x0<=x=x0+a (9).   | |nyn(x)(=) (10).   | |, а у1,...,уn     |
|U(x0)<=y0<=V(x0). | |Ф-я вида (10),    | |приведены в (5).  |
|Предп, что (9) не | |получ из (9), явл | |e([1]xf1(x)+e([2]x|
|вып-ся на всём    | |вещ тогда и только| |f2(x)+...+e([s]xfs|
|[x0, x0+a], т.е.  | |тогда, когда      | |(x), (( От себя:  |
|(х1, для кот      | |произв пост при   | |Л=( в матрице)    |
|U(x1)>W(x1) между | |компл-сопряж      | |                  |
|х0 и х1, (х* в    | |реш-ях комплексно | |Это означает, что |
|котор U(x*)0, | |(10) даёт вещ реш | |записать как      |
|x((x*,x1].        | |(???), то         | |столбец).         |
|(’(x)=U’(x)-W’(x)<| |(=)c-1y-1(x)+c-2y-| |M(p)=b0pn-1+b1pn-2|
|=f(x,U(x))-g(x,W(x| |2(x)+...+         | |+...+bn.          |
|))=f(x,U(x))-f(x,U| |c-2k-1y-2k-1(x)+  | |M(p)yj(x)=0, при  |
|(x))=0. Т.о.      | |c-2ky-2k(x)+      | |x=x0 (13).        |
|(’(x)<=0 => ф-я   | |c-2k+1y-2k+1(x)+..| |M(p)=(j(x), при   |
|((х) невозр,      | |.=                | |x=x0=0;           |
|поэтому ((x)<=0.  | |c-1y2(x)+c-2y1(x)+| |j=0,1,...,kj-1;   |
|Получили против.  | |...+c-2k-1y2k(x)+c| |(=(j.             |
|Знач верно (9).   | |-2ky2k-1(x)+c2k+1y| |(1 является корнем|
|Ф-я g(x,W(x)) при | |2k+1(x)+... Чтобы | |M(p), кратности   |
|условии W(x) кратн     |
|(10).             | |реш:              | |(n-1, =>          |
|W(x0)=y0 (11). По | |Пусть (1) имеет   | |k1+...+ks=n, а    |
|теореме Коши –    | |вещ коэф. Пусть   | |этого быть не     |
|Липшица ф-ии W(x) | |корни хар         | |может.            |
|и V(x) совпадают  | |уравнения занумер | |                  |
|на x0<=x<=x0+a => | |так, как указ в   | |4:)Теор об общ вещ|
|U(x)<=V(x).       | |(8).Тогда общее   | |реш-ии            |
|Теоремка док-на!!!| |вещественное      | |Если коэффициенты |
|                  | |решение (1) имеет | |вещественные, то  |
|2:) Лемма о       | |вид:              | |если есть корни   |
|линейных          | |у=e((1)x(a1*cos   | |(=(+i(; (-=(-i(,  |
|дифференциальных  | |(1x+b1sin         | |((0 кратн k. Компл|
|нерав-ах.         | |(1x)+...+         | |корню ( кратности |
|( a(x) и b(x) непр| |e((k)x(ak*cos     | |k отвечает группа |
|и опр на          | |(kx+bksin         | |решений: e(x(a1cos|
|x0<=x<=x0+a. Пусть| |(kx)+c2k+1e((2k+1)| |(x+b1sin          |
|диффер ф-я U(x)   | |x+...+ cne((n)x   | |(x+x(a2cos        |
|удовл н-ву:       | |(13).             | |(x+b2sin          |
|U’(x)<=a(x)U(x)+b(| |a1,...,an,b1,...,b| |(x)+...+xk-1(akcos|
|x)  (12),         | |n,c2k+1,...,c2n(R.| |(x+bksin (x));    |
|U(x0)<=y0 (13).   | |(( От себя:       | |a1,..,an,b1,...,bn|
|Тогда справедлива | |((k)x=(kx, c-=c(с | |(R.               |
|оценка:           | |чертой) и т.п.)   | |e(x((1cos((x+(1)+x|
|U(x)<=y0e(x0..x)(a| |Другая форма      | |(2cos((x+(2)+...+x|
|(V)dV+(x0..x)(e(s.| |записи:           | |k-1(kcos((x+(k);  |
|.x)a(()d(*b(s)ds  | |(=(+i(. | |(1,...,(k>0;      |
|(14)              | |ce(x+ c-e((c      | |(1,...,(n-(const.(|
|Д-во: Определим   | |чертой)x=(e(xcos((| |15)               |
|ф-ю               | |x+()  (14)        | |Если же корень    |
|f(x,y)<=a(x)y+b(x)| |Пусть коэф (1) явл| |((R, то ему       |
|. Эта ф-я         | |вещ числами. Пусть| |отвечает группа   |
|непрерывна и удовл| |корни хар ур-я явл| |решений след вида:|
|условию Липшица по| |простыми и занум, | |e(x(c1+c2x+...+ckx|
|2-й переменной:   | |как в (8). Тогда  | |k-1) (16). Для    |
|(f(x,y)/(y=a(x),  | |общ вещ реш-е (1) | |того, комплексные |
||a(x)|<=L, т.к.   | |м-но записать в   | |решения давали    |
|a(x)-непр. Обозн  | |виде:             | |вещественное необх|
|через G(x) реш нач| |y=(1e((1)xcos((1x+| |и дост, чтобы при |
|зад,              | |(1)+...+(ke((k)xco| |компл произв пост |
|V’(x)=a(x)V(x)+b(x| |s((kx+(k)+c2k+1e((| |были компл        |
|), x0<=x<=x0+a    | |2k+1)x+cne((n)x   | |сопряжены, а при  |
|(15), V(x0)=y0    | |(15)              | |вещ – вещественно.|
|(16), в этом случ | |0<(1,..,(k(R;     | |                  |
|вып-ны все усл    | |(1,..,(k(R;       | |                  |
|теор Чаплыгина о  | |c2k+1,...,cn(R    | |                  |
|диф нер-ах,       | |                  | |                  |
|поэтому:          | |                  | |                  |
|U(x)<=V(x) на     | |                  | |                  |
|[x0;x0+a], и тем  | |                  | |                  |
|самым н-во (14)   | |                  | |                  |
|д-но. Предп       | |                  | |                  |
|теперь, что       | |                  | |                  |
|a(x)<=a, b(x)<=b. | |                  | |                  |
|Н-во прин вид:    | |                  | |                  |
|U’(x)<=aU(x)+b    | |                  | |                  |
|(17). U(x0)<=y0   | |                  | |                  |
|(18)  и для U(x)  | |                  | |                  |
|справ-ва оценка:  | |                  | |                  |
|U(x)<=y0*ea(x-x0)+| |                  | |                  |
|b/a*(ea(x-x0)-1)  | |                  | |                  |
|(19)              | |                  | |                  |
|3:) Т. Райда об   | |                  | |                  |
|интегральных      | |                  | |                  |
|неравенствах      | |                  | |                  |
|Предп, что на D+  | |                  | |                  |
|определена ф-я    | |                  | |                  |
|f(x,y) непр по    | |                  | |                  |
|совок перем, удовл| |                  | |                  |
|усл Липшица по    | |                  | |                  |
|втор перем, и не  | |                  | |                  |
|возр по 2-й перем,| |                  | |                  |
|т.е.              | |                  | |                  |
|f(x,u)<=f(x,V), if| |                  | |                  |
|U<=V. Пусть непр  | |                  | |                  |
|ф-я U(x) удовл инт| |                  | |                  |
|н-ву:             | |                  | |                  |
|U(x)<=y0+(x0..x)(f| |                  | |                  |
|(s,U(s))ds (20),  | |                  | |                  |
|x0<=x<=x0+a. Пусть| |                  | |                  |
|непр ф-я V(x) явл | |                  | |                  |
|реш               | |                  | |                  |
|V(x)=y0+(x0..x)(f(| |                  | |                  |
|s,V(s))ds (21),   | |                  | |                  |
|V(x0)=y0 (22),    | |                  | |                  |
|тогда ф-я         | |                  | |                  |
|U(x)<=V(x),       | |                  | |                  |
|x0<=x<=x0+a.      | |                  | |                  |
|Д-во: Обозначим   | |                  | |                  |
|через W(x) правую | |                  | |                  |
|чать неравенства  | |                  | |                  |
|(20).             | |                  | |                  |
|W(x)=y0+(x0..x)(f(| |                  | |                  |
|s,U(s))ds, =>     | |                  | |                  |
|U(x)<=W(x). Т.к.  | |                  | |                  |
|U(x) явл решением | |                  | |                  |
|(21), то она удовл| |                  | |                  |
|диф ур-ю:         | |                  | |                  |
|W(x)=f(x,U(x)),   | |                  | |                  |
|т.к. U(x)<=W(x), и| |                  | |                  |
|ф-я f не возр по  | |                  | |                  |
|втор перем:       | |                  | |                  |
|V’(x)<=f(x,W(x)), | |                  | |                  |
|функц W(x) удовл  | |                  | |                  |
|дифуре:           | |                  | |                  |
|W’(x)=f(x,U(x)) – | |                  | |                  |
|вып все усл теор  | |                  | |                  |
|Чаплыгина о диф   | |                  | |                  |
|нер-ах =>         | |                  | |                  |
|V(x)<=W(x) на     | |                  | |                  |
|x0<=x<=x0+a.      | |                  | |                  |
|Теорема доказана. | |                  | |                  |
|4:) Лемма Беллмана| |                  | |                  |
|о лин. интегр.    | |                  | |                  |
|нер-ах.           | |                  | |                  |
|Пусть a(x), b(x)  | |                  | |                  |
|непр на [x0;x0+a] | |                  | |                  |
|и пусть a(x)>=0, и| |                  | |                  |
|пусть ф-я U(x)<=  | |                  | |                  |
|y0+(x0..x)(f(s,U(s| |                  | |                  |
|))ds (23), тогда  | |                  | |                  |
|спр-во и др н-во: | |                  | |                  |
|                  | |                  | |                  |
|U(s)<=y0e(x0..x)(a| |                  | |                  |
|(()d(+(x0..x)(e(s.| |                  | |                  |
|.x)(a(()d(*b(s)ds | |                  | |                  |
|(24)              | |                  | |                  |
|Д-во: определим   | |                  | |                  |
|функцию           | |                  | |                  |
|f(x,y)(a(x)y+b(x).| |                  | |                  |
|Она непр и удовл  | |                  | |                  |
|усл Липш и невозр | |                  | |                  |
|по втор перем.    | |                  | |                  |
|(f(x,y)/(y(a(x)>=0| |                  | |                  |
|. Опр ф-ю, как реш| |                  | |                  |
|ур-я              | |                  | |                  |
|V(x)=y0+(x0..x)((a| |                  | |                  |
|(s)V(s)+b(s))ds   | |                  | |                  |
|(25), V(x0)=y0. По| |                  | |                  |
|теореме Райда,    | |                  | |                  |
|U(x)<=V(x), и     | |                  | |                  |
|V’(x)=a(x)V(x)+b(x| |                  | |                  |
|) (26), V(x0)=y0  | |                  | |                  |
|(27). Решение нач | |                  | |                  |
|зад (26)-(27)     | |                  | |                  |
|определяется ф-ой | |                  | |                  |
|V(x)=x0*e(x0..x)(a| |                  | |                  |
|(()d(+(x0..x)(e(s.| |                  | |                  |
|.x)(a(()d(*b(s)ds,| |                  | |                  |
|что и доказ лемму.| |                  | |                  |
|                  | |                  | |                  |
|Если a(x)<=a>=0,  | |                  | |                  |
|b(x)<=b, тогда    | |                  | |                  |
|U(x)<=y0+(x0..x)((| |                  | |                  |
|aU(s)+b)ds (29) и | |                  | |                  |
|спр оценка сверху | |                  | |                  |
|U(x)<=y*ea(x-x0)+b| |                  | |                  |
|/a*(ea(x-x0)-1)   | |                  | |                  |
|(30)              | |                  | |                  |

-----------------------
1 2 3 4 5 6 7