Шпора по математическому анализу .

|13. Линейные      | |10. Линейные неодн| |Лекция №7         |
|неоднородные диф  | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение (   |
|ур-я n-го порядка | |перем коэф.       | |решения.          |
|с правой частью   | |1)Теорема (я и    | |                  |
|квазимногочлена.  | |ед-ти решения нач | |Предп. что        |
|1)Квазимногочлены | |задачи            | |рассматр. нач.    |
|и их свойства     | |2)Теорема об общем| |задача вида       |
|2)Правило         | |решении           | |(1)-(2)           |
|нахождения        | |3)Метод Лагранжа  | |у(=f(x,у)(1)      |
|частного решения в| |вариации произв   | |у(х0) =у0(2)      |
|нерезонансном     | |пост              | |f(x,у) – непр. по |
|случае            | |4)Ф-я Коши и её   | |совокупн. решенных|
|3)Правило         | |св-ва             | |предполог., что   |
|нахождения        | |                  | |f(x,у) рассматр.  |
|частного решения в| |1:)Теорема (я и   | |на прямоугольнике |
|резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D={(х,у):         |
|                  | |задачи            | ||х-х0|<=а ,       |
|                  | |y(n)+a1(x)y(n-1)+.| ||у-уо|<=б}        |
|1:)Квазимногочлены| |..+an(x)y=f(x)    | |(M=maх|f(x,у)|    |
|и их свойства     | |a        | |теоремой ( и      | |Проинтегр. рав-ва |
|pj(x)=0, (j=1..k  | |единств реш нач   | |у((х) и для z((х) |
|(5). Проведём     | |зад.              | |у(х)=y0+(x0,x)?{f(|
|доказательство    | |Связь между ур-ми | |s,y(s))+((s)}ds   |
|ММИ:              | |n-го порядка и    | |(11)              |
|1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из       | |z(x)=z0+(x0,x)?{g(|
|1(x)(0            | |n-уравнений 1-го  | |s,z(s))+((s)}ds   |
|2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём  | |(12)              |
|вида (3)=0.       | |уравнение 2-го    | |вычтем. почленно  |
|Разделим (3) на   | |порядка с непр    | |из (11)-(12) и    |
|e([k]x:           | |коэф:             | |оценим разницу по |
|e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю:           |
|+e(([2]-([k])xp2(x| |(x).              | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x|
|)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?{f(s,y(s))+g(|
|rk-степень        | |’(x);             | |s,z(s))+((s)+((s)}|
|многочлена. Если  | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13)           |
|продифференцироват| |;                 | ||y(x)-z(x)|<=|y0-z|
|ь многочлен       | |y2’(x)=y’’(x)=f(x)| |0|+|?{f(s,y(s))+g(|
|rk-раз, то ничего | |-p(x)y(x)-q(x)y=f(| |s,z(s))+((s)+((s)}|
|не останется.     | |x)-p(x)y2(x)-q(x)y| |ds|<=|y0-z0|+(x0,x|
|Pr[k]+1((j=1..k-1)| |1(x).             | |){|f(s,y(s))-g(s,z|
|(e(([j]-([k])xpj(x| |Cистема:          | |(s))|+|((s)-((s)|d|
|)+pk(x))=0. Можно | |y1’=y2;           | |s                 |
|примеить формулу  | |y2’=-q(x)y1-p(x)y2| ||f(s,y(s))-f(s,(z(|
|смещения:         | |+f(x)             | |s))|<=L|y(s)-z(s)||
|(j=1..k-1)(e(([j]-| |                  | |(14)              |
|([k])xpj(x)*(p+(j-| |2)Теорема об общем| ||f(s,z(s))-g(s,z(s|
|(k)r[k+1]=0.      | |решении           | |))|<=(            |
|Получили квазимн-н| |Пусть             | ||y(x)-z(x)|<=|y0-z|
|порядка k-1.      | |y1(x),...,yn(x)   | |0|+(x0,x)?L|y(s)-z|
|e(([1]-([k])xg1(x)| |(4) – фунд сист   | |(s)|+(+(+(}ds     |
|+...+e(([k-1]-([k]| |решений однор ур-я| ||((x)<=(;         |
|)xgk-1(x)(0;      | |(3), а z(x) –     | ||((x)|<=(         |
|gj(x)(pj(x)*(p-(j-| |какое – либо      | |П.                |
|(k)r[k+1];        | |частное решение   | ||y(x)-z(x)|=u(x).Е|
|j=1..k-1 =>       | |неодн ур-я (1)    | |огда посднее н-во |
|gj(x)(0. Если при | |имеет след вид:   | |м-но зап-ть в     |
|p=0 получ 0, то   | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде        |
|дифференциальный  | |(x)+z(x) (5), где | |U(x)<=U(x0)+(x0,x)|
|оператор сохраняет| |с1,...,cn – произв| |?LU(s)+(+(+(}ds   |
|степень           | |пост.             | |(15)              |
|многочлена.       | |Д-во: Докажем, что| |Пользуясь леммой о|
|pj(x)(0,          | |(5) всегда даёт   | |лин. инт. нер-ах  |
|j=1..k-1;=> (5) – | |решение (1) при   | |м-но вып-ть оценку|
|д-но              | |(c1,...,cn. Вся   | |ф-ции U(x) если   |
|Тхеоремена        | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) |
|доказякана        | |решение (3).      | |это точные реш-я, |
|                  | |Добавл к нему     | |то (,(,( =0       |
|2:)Правило        | |частн реш z(x),   | ||y(x)-z(x)|<=L|x-x|
|нахождения        | |получ реш неодн   | |0|;               |
|частного решения в| |(1). Покаж, что ( | ||y0-z0|+(((+(+()/L|
|нерезонансном     | |решение неодн ур-я| |)(eL|x-x0|-1)     |
|случае            | |(1) м.б. записано | |                  |
|Пусть L(()(0. (7).| |в виде (5) при нек| |2 Th              |
|Этот случай       | |пост c1,...,cn.   | |единственности и  |
|называется        | |If y(x) – частн   | |оценка разности   |
|нерезонансным.    | |решение (1), то   | |решений           |
|Частное решение   | |y(x)–z(x) –       | ||y(x)-z(x)|<=     |
|ур-я (1) запис в  | |решение однор ур-я| |eL|x-x0||y0-z0|,  |
|след виде:        | |(3). По теореме об| |y0=z0 (17)        |
|y=e(xg(x).        | |общем решении в   | |y(x)? z(x)        |
|deg(g)=deg(p) (8).| |(3) мы можем      | |Прич. если нач.   |
|Теория утверждает,| |указать такие     | |усл. совп. то     |
|что эта система   | |c1,...,cn – что   | |совп. и сами      |
|всегда имеет      | |y(x)–z(x)=c1y1(x)+| |ф-ции.            |
|единственное      | |...+cnyn(x).      | |                  |
|решение =>        | |Перенося z –      | |3 Зависимость от  |
|коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части      |
|определяются      | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x)  |
|однозначно.       | |Общее решение     | |это точное реш-е  |
|Д-во:             | |однородного       | |но разных задач,  |
|L(p)y=e(xp(x).    | |уравнения есть (  | |то в этом случае  |
|Учитывая (8),     | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но |
|получаем:         | |однор ур-я, и     | |оценить разницу   |
|L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо     | |между у(х) и z(x) |
|(x). Применим к   | |частн решениия    | |                  |
|лев части ф-лу    | |неодн ур-я.       | ||y(x)-z(x)|<=     |
|смещения:         | |                  | |eL|x-x0||y0-z0|+((|
|e(xL(p+()g(x)=e(xp| |3:)Метод Лагранжа | |/L)( eL|x-x0|-1)  |
|(x).              | |вариации произв   | |(18)              |
|L(p+()g(x)=p(x).  | |пост              | |Н-во (18) зад.    |
|L(()(0            | |Лагранж предложил | |зависимость от    |
|                  | |искать частные    | |прав. частей.     |
|3:)Правило        | |решения в виде (5)| |4 Оценка разности |
|нахождения        | |без z(x), только  | |между ( решениями |
|частного решения в| |константы считать | |Если y(x) и z(x)  |
|резонансном       | |ф-ми:             | |это соотв. ( и (  |
|случае.           | |y=c1(xz)y1(x)+…+cn| |реш-я нач. задачи |
|Мы решаем (1) (=0, И     |
|Этот случай наз-ся| |Система: (7)      | |оценка разности   |
|резонансным.      | |с1’(x)y(x)+…+cn’(x| |решний приобретает|
|L(()=0 (9).       | |)yn(x)=0;         | |такой вид:        |
|k-кратность (, как| |……                | ||y(x)-z(x)|<=     |
|корня хар ур-я.   | |c1’(x)y(n-2)(x)+…+| |eL|x-x0||y0-z0|+((|
|y=e(xxkg(x) (10). | |cn’(x)y(n-2)n(x)=0| |/L)(              |
|Deg(g)=Deg(p).    | |                  | |eL|x-x0|-1)=(((+  |
|(10) частное      | |c1’(x)y(n-1)(x)+…+| |()/L)( eL|x-x0|-1)|
|решение. Теория   | |cn’(x)y(n-1)n(x)=f| |(19)              |
|утверждает, что   | |(x)               | |если у(х) это     |
|нахождение g(x)   | |                  | |точн. реш-е при   |
|имеет единственное| |if c1(x),..,cn(x) | |этом (=0 и п. z(x)|
|решение.          | |– удовл усл (7),  | |это  ( реш-е      |
|Д-во:             | |то (6) даёт       | ||y(x)-z(x)|<=     |
|L(p)y=e(xp(x);    | |решение (1).      | |((/L)( eL|x-x0|-1)|
|L(p){e(xxkg(x)}=e(| |Д-во: В этой      | |(20)              |
|xp(x). Применим   | |системе неизв явл | |5 Метод ломаных   |
|ф-лу смещения:    | |c1’,…,cn’         | |Эйлера            |
|e(xL(p+(){xkg(x)}=| |Матрицей (7) явл  | |Метод ломаных- это|
|e(xp(x);          | |W(x)<>0(сост матр | |метод численного  |
|L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой  |
|). Нужно найти    | |система имеет     | |задачи. Для этого |
|g(x), удовл       | |единственное      | |весь пр-к  опред-я|
|последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на|
|(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып   | |части х0 <х1<…0 то в силу|
|                  | |                  | |непр. ф-ции f(x,у)|
|                  | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |:                 |
|                  | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)-          |
|                  | |Wi –              | |f(x,z)|<=( если   |
|                  | |алгебрарическое   | ||x-s|<=(,         |
|                  | |дополнение к эл-ту| ||y-z|<=(,   (     |
|                  | |n-ой строки стоящ | |((()>0 (непр. по  |
|                  | |в i-м столбце.    | |совок. переменных)|
|                  | |ci(x)=            | |M=maх|f(x,у)|     |
|                  | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во              |
|                  | |W(s))f(s)ds,      | |Из (25) вытекает  |
|                  | |i=1,…,n (12).     | ||y(((x)-f(x,у((x))|
|                  | |Подставим в (6):  | ||                 |
|                  | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi|
|                  | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))||
|                  | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |<=( (26)          |
|                  | |s)yi(x)=(i=1..n)(c| ||x-xi|<=(;        |
|                  | |iyi(x)+(x0..x)((i=| ||x-xi||f(xi,уi)|<=|
|                  | |1..n)((Wi(s)/W(s)f| |(M                |
|                  | |(s))y(x)ds) (13)  | |При достаточно    |
|                  | |K(x)=(i=1..n)((y(x| |малом  шаге       |
|                  | |)Wi(s))/W(s) (14);| |ломаная Эйлера    |
|                  | |x,s((a;b)         | |становится (      |
|                  | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |решением          |
|                  | |+(x0..x)(K(x,s)f(s| |6 Оценка          |
|                  | |)ds (15) –        | |погрешности метода|
|                  | |интегральный      | |ломаных Эйлера    |
|                  | |оператор          | |Предп. что f(x,у) |
|                  | |                  | |удовл. усл. Лищица|
|                  | |                  | |по кажд.          |
|                  | |                  | |переменной        |
|                  | |                  | |т.е. разница :    |
|                  | |                  | ||f(x,у)           |
|                  | |                  | |–f(s,z)|<=k|x-s|+L|
|                  | |                  | ||y-z|  (27)       |
|                  | |                  | |Вэтом случае      |
|                  | |                  | ||y(((x)-f(x,у((x))|
|                  | |                  | ||=|f(xi,yi)-f(x,yi|
|                  | |                  | |+(x-xi)f(xi,уi)|<=|
|                  | |                  | |                  |
|                  | |                  | |( в кач-ве у(х)   |
|                  | |                  | |выбир. отн. Эйлера|
|                  | |                  | |)                 |
|                  | |                  | |<=                |
|                  | |                  | |k|x-xi|+|x-xi|LM<=|
|                  | |                  | |(k+(()(( (28)     |
|                  | |                  | |Восп. соотн. (20) |
|                  | |                  | |Пусть сетка будет |
|                  | |                  | |равномерной       |
|                  | |                  | ||y(x)-y((x)|<=(((k|
|                  | |                  | |+ML)()/h)(eL|x-x0||
|                  | |                  | |-1) (29)          |
|                  | |                  | ||y(x)-y((x)|<=    |
|                  | |                  | |h(M+k/h)(eL|x-x0|-|
|                  | |                  | |1) (30)           |
|                  | |                  | |Оценка (30) наз-ся|
|                  | |                  | |оценкой первого   |
|                  | |                  | |пор-ка точности.  |
|                  | |                  | |Задаваясь опред.  |
|                  | |                  | |точностью и зная  |
|                  | |                  | |числа k,M,L можно |
|                  | |                  | |определить h таким|
|                  | |                  | |обр. чтобы посл.  |
|                  | |                  | |произв. было <(.  |
|                  | |                  | |Тогда соотв. и    |
|                  | |                  | |разн. между ф-ей  |
|                  | |                  | ||y(x)-y((x)|<(    |
|                  | |                  | |(32)              |
1 2 3 4 5 6 7