Линейная Алгебра. Теория групп .

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение
Элементы коммутативной группы G называются ее системой образующих
(с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где .
Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом
образующих (г.к.о.)
Примеры.
1. Циклическая группа - группа с одной образующей.
2. Группа всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с
операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у
которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.
Отметим, что Z . Будем также считать, что - тривиальная группа.
3. Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m=
m*7+(-2m)*3 .
4. Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему
образующих можно взять, например, все элементы этой группы.
5. Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В
самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде
отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму , получим
дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая
несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной
линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.
Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение формулой: .
Очевидно, что является сюръективным гомоморфизмом. Будем
называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он
отображает стандартную с.о. группы в заданную с.о. группы G. Из
существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является
гомоморфным образом группы . Отметим еще, что если -
сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный
образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.
Всякая подгруппа H группы G с с.о. допускает конечную с.о. ,
причем .
Доказательство.
Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая
группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть
для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай
сформулированный в теореме. Определим множество
. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где .
Если k>0 выберем так, чтобы . Пусть - подмножество G,
состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все .
Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также -
подгруппа . По предположению индукции допускает конечную с.о.
, где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0.
Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный
элемент. Тогда h= . Значит,
=и потому=, откуда и теорема полностью доказана.
Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания
группы G с заданной с.о. с помощью матриц. Рассмотрим стандартный
гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет
конечную с.о. . Поскольку , можно записать: , где
. Матрица с этими элементами полностью описывает
подгруппу H, а, следовательно, и группу G.
Примеры.
1. Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный
гомоморфизм имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11)
матрица (n).
2. Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа
состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы
не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3)
как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа
Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы
видим, что каждый элемент из может быть записан в виде , то
есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм
действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма состоит из
таких двумерных векторов , для которых =1, то есть элементы
и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба
вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2;
m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих можно выбрать
элементы и . Поэтому получаем: .
Замечание.
Построение матрицы для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы
G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. -
выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа
элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из
образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для
того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их
обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение
э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H
приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две
целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой
э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные
матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая
, то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций
столбцов B и образовав факторгруппу G= мы придем к группе, для
которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет
некоторую г.к.о.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13