Линейная Алгебра. Теория групп .

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение
Пусть и две группы и некоторое отображение.
называется изоморфизмом, а группы и - изоморфными
(однотипными), если
1. - взаимно однозначно и
2. .
Изоморфизм групп и обозначается символом .
Если выполнено только условие 2. , то отображение называется
гомоморфизмом (подобием).
Примеры
1. Пусть группы и заданы таблицами умножения:

Отображение является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто
меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается
неизменной).
2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения), - группа
из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.
Тогда - гомоморфизм.
3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа.
Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где
. Определим отображение формулой: (x)=x*H. Поскольку
смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение
является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом
группы на факторгруппу.
Простейшие свойства гомоморфизмов групп.
Пусть - гомоморфизм. Тогда:
1.
2. .
3. Если -подгруппа, то -подгруппа в .
4. Если - (нормальная) подгруппа, то - (нормальная) подгруппа в
.
Доказательство
1. Пусть - любой элемент. Тогда и по признаку нейтрального
элемента .
2. Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .
3. Применим признак подгруппы:
4. Пусть - подгруппа. - элементы из , то есть и
входят в К. Тогда и потому. Значит, - подгруппа .
Пусть теперь К - нормальная подгруппа и - любой элемент. Тогда
и значит. Аналогично, . Поскольку , то и , то
есть подгруппа нормальна в .
Замечание
Образ нормальной подгруппы не всегда нормален.
Из доказанной теоремы следует в частности, что для всякого гомоморфизма
подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма и
обозначается Im . Точно также, - подгруппа в , причем
нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе.
Она называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker .
Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.
Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит
различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его
образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на
подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм
cюръективен тогда и только тогда, когда Im .
Критерий инъективности гомоморфизма групп
Гомоморфизм групп инъективен тогда и только тогда, когда Ker
={}.
Доказательство
Поскольку , и значит, если инъективно в ядре не может быть
других элементов и таким образом Ker ={e}. Обратно, пусть ядро
состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента ,
что . Тогда и значит и потому равно . Отсюда
получаем x=y и инъективно.
Следствие
Если Ker = {e}, то изоморфно отображает на подгруппу Im
.
Теорема Кэли
Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из
n элементов.
Доказательство
Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли. В i-ой
строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком
следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим
полученную перестановку . Определим отображение по формуле
. Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает
композиция перестановок, то есть -гомоморфизм. Если, то, в
частности, и значит. Таким образом, Ker тривиально и
определяет изоморфизм между G и подгруппой Im в .
Теорема о гомоморфизме для групп
Пусть сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа изоморфна
. Если эти изоморфные группы отождествить, то превращается в
естественный гомоморфизм .
Доказательство
Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение
. Пусть С произвольный элемент то есть некоторый смежный класс
группы по ее подгруппе H. Возьмем любой . Тогда не
зависит от выбора элемента x. В самом деле, если любой другой
элемент, то y=x*h, где и значит, . Положим: . Используя
правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=
= Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм.
Если любой элемент, то поскольку сюръективно, найдется такой
, что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если
Ф(x*H)= , то ф(x)= , и потому x*H=H= . Это доказывает,
что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является
изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать
изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H),
отображение совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в
x*H.
Следствие
Всякий гомоморфизм определяет изоморфизм между факторгруппой и
подгруппой Im .
Примеры
1. Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ),
сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1).
Тогда Ker - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1
сюръективно. По теореме о гомоморфизме -нормальная подгруппа
в и .
2. Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы
GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n в группу не равных
нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа
матриц с определителем 1. Значит эта подгруппа нормальна и GL(n,R)
/SL(n,R) .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13