Линейная Алгебра. Теория групп .

Лекция 4

Циклические группы.

Определение
Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями
одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы
G.
Примеры циклических групп:
1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.
2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией
умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=
-образующий .
Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и
бесконечными.
3. Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество
является циклической группой с образующим элементом g . Она
называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок
- порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является
делителем порядка группы. Отображение
действующее по формуле: , очевидно является
гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение
сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее
образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным
гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .
Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство
циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом
группы Z .
Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем
использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как
ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем
называть нулем и обозначать 0.
Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная группа,
записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами
которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то
nF - подгруппа F поскольку n(x-y)=nx-ny.
Теорема о подгруппах группы Z
Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное
целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.
Доказательство:
Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна.
В этом случае в H содержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а
значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда
. Если - любое число, то разделив m на n с остатком, получим:
m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ ,
что и требовалось.
Замечание.
Если k 0 - любое целое, то отображение определенное формулой
является изоморфизмом и отображает подгруппу на подгруппу
, а значит определяет изоморфизм .
Теорема о структуре циклических групп
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная
циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.
Доказательство.
Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H -
некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G
изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n
смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H
имеет порядок n.
В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .
Отметим, что в наших обозначениях, - тривиальная группа.
Элементами конечной группы по определению являются смежные классы:
{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются и называются вычетами
по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.
Теорема о подгруппах группы (n>0).
Если H подгруппа группы , то H= причем n делится на m нацело.
Порядок H равен =d , и значит .
Доказательство.
Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит
K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом
и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме .
Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы
циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n
конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка
d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная
теореме Лагранжа.
Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат
о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.
Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель
d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на
которое без остатка делятся n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа,
для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.
Основная теорема теории делимости.
Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y,
что xn+ym=1.
*Доказательство.
Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида
xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число
этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m
(пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r0, то числа и взаимно просты и по доказанной теореме для
подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный
результат.*
Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.
Пусть p0 любое целое. Вычет в группе имеет порядок
v=n/(n,p).
Доказательство.
Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===,
откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если
порядок равен k, то k=, то есть kp делится на n. По
основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится
на n. Но если k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13