Линейная Алгебра. Теория групп .

                                  Лекция№9

                        Кольцо многочленов над полем.

           Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов
над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам
кольца целых чисел Z .
I. Делимость многочленов.
Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом»
использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому
применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух
ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены  q (неполное
частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )<
deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p )
и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или
приведенным), если его старший коэффициент равен 1.
Определение.
Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой
унитарный многочлен ОНД( p, s), что
1.  ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.
2. q | p, q | s  q | ОНД( p, s).
По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а
ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.
Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.
Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из
определения. Существование его следует из следующего утверждения.
Основная теорема теории делимости (для многочленов).
         Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти
такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.
        Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции
 доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его
шаги.
Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно
меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным
многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем:
p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p -
s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то
      deg(r )0, то это противоречит неприводимости
p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.
2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | .
Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому
по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит,
,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.
      Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,
равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается
p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого
гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a
является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не
совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то
 I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет
корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда
непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не
имеет корней.
Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие
производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место
обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что
 и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет
наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В
частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не
кратный).
Если  | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня
a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными
кратностями . Поскольку      при        ab
НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p)
. Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их
кратности.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13