Линейная Алгебра. Теория групп .

                                  Лекция№7

             Коммутативные группы с конечным числом образующих.

                  Часть третья: следствия из классификации.



Теорема о подгруппах группы 
Всякая подгруппа группы  изоморфна , причем .
Доказательство.
Мы знаем, что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и
потому для нее можно записать первое каноническое разложение: , где
(m+k) n. Поскольку все элементы  имеют бесконечный порядок, G не
содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема
доказана.
Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.
Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G  в
ней найдется подгруппа H порядка m.
Доказательство.
Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп :  Имеем :
n=. Поскольку  m делит n, можно записать: m=, где каждое 
делит . Пусть . Теперь достаточно положить: .
Замечание.
Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы
циклической группы ). Например, если , где число p простое, то каждый
неединичный элемент  имеет порядок p и значит входит в циклическую
подгруппу порядка p.  Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются
только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности 
подгрупп порядка p.
Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп
Пусть G- конечная циклическая группа и - ее первое каноническое
разложение, так что каждое делит . Тогда множество порядков всех
элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа .
Доказательство.
Поскольку все являются делителями ,  =0 и потому G=0. С
другой стороны, если q делит , то  (а значит и G !) содержит
элемент g  порядка  q.
Следствие.
Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G,
то mG=G.
В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого группы G
m=.
Второе каноническое разложение
Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то . Поскольку любое
натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, , где
все простые попарно различны, имеем:  . Используя разложение
конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что
всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических
подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим
слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу .
Определение.
Подгруппа  называется  p-компонентой  группы G.  Группа G, порядок
которой равен степени простого числа p называется p-примарной.
Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-
компонент: , где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-
компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп:
. Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается
, а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты
. Порядок равен , где - количество 1 в показателе,
- количество 2 и т.д. Таким образом компонента  является
примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой
группы называется вторым каноническим разложением.
Пример.
Пусть . Поскольку 12=,    72=,        имеем: .
Замечание.
Если  - две подгруппы примарной циклической группы и st, то
. Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть
разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое
разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы
наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что
первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы
наибольших циклических слагаемых.

Теорема единственности для разложения в сумму компонент.
Компоненты  конечной коммутативной группы G определены однозначно.
Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых
чисел, . Тогда .
Доказательство.
Из разложения  мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q  =
. Поскольку при ji  делится на, а =1, отсюда и
следует утверждение теоремы.
Теорема единственности определения типа примарной группы.
Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента
группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп:
=,      то .
Доказательство.
Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент.
Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой
стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому
ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:
ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует
утверждение теоремы.
Замечание.
Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства
единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается
единственность каждой из подгрупп  , тогда как во второй подгруппы,
составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но
их количество и порядок каждой из них  находятся уже единственным образом.
Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.
Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп
порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных
компонент, разложению   в произведение простых отвечает равенство
ab(n)=ab()ab()...ab(). Если p- любое простое число, и G-
группа порядка и типа (1,1,...1,2,2,......k) то
m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы
положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли)
отвечает определенный тип абелевой группы порядка  . Такое
представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким
образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.
Примеры.
Составим прежде всего следующую табличку разбиений:
|m |                                               разбиения|[pic|
|  |                                                        |]   |
|1 |1                                                       |1   |
|2 |2;1+1                                                   |2   |
|3 |3;2+1;1+1+1                                             |3   |
|4 |4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1                                 |5   |
|5 |5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1                 |7   |
|6 |6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+|11  |
|  |1;1+1+1+1+1+1                                           |    |

ab(16)= =5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие:
, , , ,. Первые канонические разложения для них
имеют вид: , , , , .
ab(72)=ab(8)*ab(9)= =6. Соответствующие группы суть: , ,
, , , . Первые канонические разложения для них имеют
вид: , , , , , .
В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и
ab(n) абелевых групп данного порядка n.
|n    |2  |3  |4  |5  |6  |7  |8  |9  |10 |11 |12 |13 |14 |15 |
|Г(n) |1  |1  |2  |1  |2  |1  |5  |2  |2  |1  |5  |1  |2  |1  |
|ab(n)|1  |1  |2  |1  |1  |1  |3  |2  |1  |1  |2  |1  |1  |1  |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13