Линейная Алгебра. Теория групп .

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими
задается (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы
определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А
диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно
перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде:
A=diag().
Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.
Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной
матрице diag(), с положительными , причем все числа -
целые.
Доказательство.
Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0.
Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и
назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента
будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента
этой матрицы .
Лемма
Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее
главному элементу.
Доказательство леммы.
Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой
h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию,
указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть -
главный элемент этой матрицы так что . Допустим, что некоторый
элемент этой матрицы не делится на нацело и придем к
противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные
элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком:
, где . Вычитая из q-ого столбца j-ый с коэффициентом s, придем
к эквивалентной матрице , у которой h()rr). Каждый элемент однозначно
представляется в виде суммы: , где 0< при i=1,2,...r
и при i>r .
Определение.
Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой
суммой системы подгрупп, если каждый элемент однозначно
представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим
образом: .
Таким образом, диагональный вид матрицы означает, что , где
количество слагаемых Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие
тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.
1. Очевидно, что .
2. Отметим, что если все подгруппы имеют конечные порядки , то
порядок равен .
3. Подгруппа состоит из элементов: , а - из элементов
. Поскольку += и +=, мы видим, что
.
4. В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно
просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют
целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что
n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют
одинаковые порядки.
5. Как было показано на предыдущей лекции, группа описывается
матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем
эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих
этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы и .
Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G
является прямой суммой своих циклических подгрупп ,
(1)
где порядки конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа -
целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13