Ротор. Теорема Стокса.
Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до
выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в
этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия
является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту
величину называют циркуляцией вектора по контуру Г.
Циркуляция =
Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру
Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г1 и Г2.
Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в
точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.
Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе
координат.
Знак минус ставится тогда, когда направления cx не совпадает с
направлением обхода.
Учитывая, что , получим:
Аналогично для сторон квадрата 2 и 4:
,
Тогда циркуляция по квадрату будет равна:
, где S – площадь квадрата.
Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат:
(1*)
(2*)
(3*)
Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём
циклической системы координат.
Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом,
ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид:
Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается
контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру:
Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна
потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром.
Отметим, что
Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (намбла)
Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей
записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
