Электромагнитное поле.
- это дискретное явление, при котором минимальный заряд равен заряду
электрона.
q e = -19 Кл
q p = -19 Кл
Fкул = , = ,
где q – источник электрического поля
- пробный заряд
- указывает направление.
(Рисунок)
Электростатическое поле в вакууме.
(поле неподвижных зарядов)
1. Напряжённость электростатического поля.
- напряжённость поля, созданного точечным зарядом
(Рисунок)
Для непрерывного распределения заряда суммирование определяется всеми
зарядами в произвольной точке пространства:
- по всему объёму тела
(Рисунок)
Пример.
(Рисунок)
, , -?
точка О – начало отсчёта
2. Линии вектора напряжённости.
- линии, направления которых в каждой точке совпадают с вектором
напряжённости.
Количество линий, пересекающих единичную перпендикулярную поверхность
должно быть равно модулю вектора напряжённости.
(Рисунок)
3. Поток вектора напряжённости.
Количество линий напряжённости пронизывающих данную поверхность:
(по поверхности)
(Рисунок)
Если и = const, то .
Теорема Гаусса.
Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, делённых
на электрическую постоянную.
(Рисунок)
- принцип суперпозиции.
Результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов
напряжённости входящих зарядов.
Расчёт напряжённости с помощью теории Гаусса.
Можно выбрать расчёт dS так, чтобы E можно было вынести за знак
интеграла.
1. Напряжённость поля однородно заряженного шара.
(Рисунок)
а) если r > R,
то
б) если r < R,
(Рисунок)
то
,
(Рисунок)
Замечание.
1) При неоднородном распределении заряда (но сохраняется сферическая
симметрия):
, где
(Рисунок)
2) Если заряда внутри нет, то и поля внутри нет. Если имеется поле, то
внутри поле отсутствует.
(Рисунок)
Расчёт напряжённости бесконечной плоскости (заряженной).
(Рисунок)
Поток через замкнутую поверхность цилиндра равен потоку основания и
боков поверхности.
,
(Рисунок)
Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра.
(Рисунок)
,
r > R,
,
(Рисунки)
Для цилиндрической оболочки поле внутри отсутствует.
Для получения используют теорему Остроградского.
- дивергенция.
, где
Потенциал электрического поля.
( - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда,
помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда.
Докажем консервативность сил и потенциальность электрических сил
поля.
(Рисунок)
Связь между напряжённостью и потенциалом.
Рассмотрим в дифференциальном виде:
(Рисунки)
Элементы математической теории поля.
Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве
(является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не
меняется с течением времени.
Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства
характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).
Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства
характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).
Градиент.
Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать,
задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость
изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять
её производную по координатам x, y, z.
(Рисунок)
В трёхмерном случае:
или , где - намбла.
- векторный дифференциальный оператор.
Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в
которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.
В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.
Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными
характеристиками поля.
Дивергенция. Теорема Гаусса.
(Рисунок)
Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в
объем V через поверхность S 0, то внутри объёма имеется источник
(через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость
исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный
поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный.
Характеристикой стоков и источников служит величина, называемая
дивергенцией – расхождение вектора скорости.
, где - поток вектора скорости через замкнутую
поверхность.
Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность
источника в точке P и является скалярной функцией координат.
(Рисунки)
Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего
рассмотрим поток через элементарный кубик.
(Рисунок)
Поток из кубика наружу будет равен:
; где - поток через i грань.
Для одной грани:
Проекции векторов и связаны соотношениями:
Поток через первую и вторую грани будет равен:
Аналогично получим:
Полный поток:
,
Отсюда:
Дивергенция связывает векторную величину, характеризующую поле, со
скалярной величиной.
Зная в любой точке пространства, можно вычислить её значение
через любую замкнутую поверхность конечных размеров.
- / теорема Гаусса /.
Опыт показывает, что к кулоновским силам применим, рассмотренный в
механике, принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила
, действующая со стороны поля на приобретённый заряд равна
векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов
.
(8)
(2)
(3)
(5)
(6)
(7)
Согласно (2): и ,
Где - напряжённость результирующего поля.
- напряжённость поля, создаваемого зарядом .
Подставим последнее выражение в (8):
(9)
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей
заключается в том, что наложенность напряжённости результирующего поля,
создаваемого системой заряда, равна геометрической сумме напряжений полей,
создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
