вид
При таком, сравнении получим, что
Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы
этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол
, для которого приведенные соотношения будут выполняться.
Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения
скоростей . Введем теперь действительную временную координату ,
для которой , или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию
такого поворота. Рассмотрим плоскость , где
Тогда имеем формулы преобразования
4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или
четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона,
исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а
относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики
материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший
релятивистскую динамику материальной точки.
Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически
естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых
координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия
трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности
длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b
равен ,где - скалярное произведение векторов а в b. В частности,
квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой
декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у,
z), равен
В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами
x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-
вектор" c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен
Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-
инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в
четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая
имеет компоненты
- интервал так называемого собственного времени материальной точки,
связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными
точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния
движения движущейся точки
и соотношением , т.е.
где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что
Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский
определил следующим образом:
Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в
релятивистской механике Минковский записал следующим образом:
где - так называемая "масса покоя" материальной точки -
компоненты так называемой "4-силы " Минковского.
Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики
материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной
точки. Прежде всего очевидно, что
так что
т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю
равную с.
Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для
дифференциала собственного времени, имеем следующие
уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями
Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки
зависит от скорости по закону
а импульс движущейся материальной точки определяется формулой
где v - вектор мгновенной скорости материальной точки.
Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает
уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом
убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -,
соответственно и сложим. Получим тогда уравнение
Отсюда можно найти . Имеем
где - мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на
рассматриваемую материальную точку. Таким образом,
и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :
Таким образом, величину
следует считать энергией движущейся материальной точки. Если , то
приближенно получаем
Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки
а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя". Кинетической энергией
материальной точки в релятивистской механике называют величину
Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию
релятивистской материальной точки. Имеем
так что имеем формулу
В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической
механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам
и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо
описывают механические движения.
Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения
уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных
точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она
столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
