сматривать изолированно одно от другого, а надо объединять в “че-
тырёхмерный мир”, или “пространство-время”, в рамках которого только и
возможно дать правильное физическое описание явлений природы. Инерциальные
системы отсчёта - отражение свойств сим-
метрии четырёхмерного мира, и ничего более. Другими словами, в
вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто
геометрических свойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени.
Существуют преоброзования - преоброзования симметрии четырёх
мерного пространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно
тому,как наше трёхмерное пространство переходит са-
мо в себя при произвольных параллельных переносах и произвольных
поворотах вокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы
координат в трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и
(или)произвольным поворотом относительно произвольно
направленной оси одна из другой,-равноправны.
Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу
наиболее наглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но
ранее него её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре,хотя в ма-
тематическом и намного более строгом, но не столь наглядном виде,
как у Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эин-
штейн в работе 1905 г.
4.14. Геометрическая симметрия четырёхмерного мира
Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в
физических, и не только физических исследованиях. Использование име-
ющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.
Пространство, в котором разыгрываются физические события, -
наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или
пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относи-
тельности, - тоже обладают определённой симметрией.
Объясним, - Что это означает? Какой именно симметрией обладает
четырёхмерный мир?
Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометри-
ческой фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально
правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высо-
кой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют
операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.
Если представить себе, что мы распологаем двумя идентичными
экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и
“совмещение” этих двух кубов друг с другом при перемещениях и по-
воротах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани
кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение
можно осуществлять по-разному : повернув предварительно каким-либо
определённым образом второй куб перед совмещением его с пер-
вым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще
не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется
тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют
и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый
предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром.
Наличие таких операций, которые называют “операциями симметрии”
позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свиде-
тельствуют о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры.
Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то,
что в математике называют группой симметрии этой фигуры.
Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её
симметрия. У куба, с учётом тождественной операции,
которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их ока-
зывается 48. У треугольника на плоскости их 3.
Может случиться, что множество операций симметрии в группе сим-
метрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой
симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим
собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси,
проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно беско-
нечно.
Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства.
Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии,
переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёх-
мерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразо-
ваний параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на
любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов прос-
транства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую
точку пространства.
С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связан-
на инвариантность всех его свойств относительно выбора любой пря-
моугольной системы координат OXYZ , центр которой можно помес-
тить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.
Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже
состоит из бесконечного числа преоброзований, а имено-из преобро-
зований произволььных параллельных переносов пространства вдоль
любой “прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и про-
извольных “поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой
“оси” в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие
осей y и z. Такие повороты какраз и являются рассматриваемыми нами
здесь преобразованиями Лоренца.
С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана
инвариантность его геометрических свойств относительно выбора од-
ной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из дру-
га равномерным движением в произвольном направлении с произволь-
ной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёх-
мерном мире или по-другому - систем отсчёта, отражающих внутрен-
нюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом
инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.
Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии прост-
ранства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины
называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.
В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инва-
риантными относительно выбора декартовых осей координат, являются
длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрез-
ками. Это самые важные количественные геометрические величины в на-
шем трёхмерном пространстве.
Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в де-
картовой системе координат К , то квадрат длинны r отрезка между этими
точками даётся известным выражением
r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат
в пространстве. Если x1’ , y1’ , z1’ и x2’ , y2’ , x2’ обозначают
координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’ ,
то имеем равенство
r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=
= (x2 - x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2,
причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью
формул преоброзования координат.
Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф,про-
изводимым по правому винту вокруг оси z,то указанные формулы преоб-
разования имеют вид:
x’ = x cos Ф - y sin Ф,
y’ = x cos Ф - y cos Ф,
z’ = z.
В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина,
подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстоя-
ние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-
венных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2,
z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с
координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно
другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний
Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’,инвариантна величина
квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интер-
вала:
s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=
=(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2
В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-
тельно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые
мы рассматривали выше:
x - vt t -
xv/c2
x’= , y’=y, z’=z, t’=
1-v2/c 2 1-v2/c2
Действительно,
1
s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *
1 - v2/c2
*((x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2( =
1
= ((x2-x1)2 - 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2(-
1-v2/c2
1
- (-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2(=
1-v2/c2
=(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2
Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2
играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-
мерном пространстве.
В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном
трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-
дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-
вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В
четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-
щих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например,
рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости
xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-
вие x2-c2t2= 0,
или
(x-ct)(x+ct)=0.
Следовательно,искомым геометрическим местом нескольких точек бу-
дут две прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени.
t
x=-ct x=ct
x
0
В четырехмерном мире, или в прстранстве - времени множество точек,
удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью
которого является ось времен. Конус называется световым.
Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Точки, расположенные вне светового конуса,имеют положительные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала коорди-
нат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,
окружающий световой конус.
t
x
x
y z
z y
Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно
затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном
мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-
ворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.
Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t
в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.
Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих
формул:
1 v/c
x1’ = x1 + i x4 ,
1- v2/c2 1-v2/c2
v/c 1
x1’ = i x1 + x4
1-v2/c2 1-v2/c2
x2’ = x2, x3’=x3
Здесь x1( x, x2(y, x3( z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного
поворота в влоскости x0 , x1 на угол ( , которые имеют
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
