на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от
последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна
нулю, так как оно не зависит от
). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и
. Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:
Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко
найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых
переменных это уравнение имеет вид
Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального
уравнения имеет вид
где F — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для
в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда
следующее функциональное уравнение:
После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что
или
.
Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой
частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные
значения, то приходим к заключению, что
а следовательно,
F
где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.
Итак, мы показали, что исходная функция имеет
следующий вид:
где — некоторые пока не определенные постоянные.
Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом
функцию . Три основных соотношения для системы отсчета
представим в виде:
Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым
соотношением, получаем уравнение
т.е. уравнение
Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному
уравнению:
в котором величины не независимые, а связаны нашими
основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения,
оставим независимыми только следующие три величины и .
Величины и выразим через указанные величины:
Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению
для искомой функции:
которое выполняется при произвольных значениях и .
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с
того, что продифференцируем его по :
производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном
уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь
в выведенном уравнении ,
и тогда придем к дифференциальному уравнению
или уравнение
Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для
этого надо перейти только к новым независимым переменным
и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид
Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:
в котором — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции
в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда
соотношение
или соотношение
Так как аргументы у фукций в правой и левой частях равенства при
произвольных значениях
и совершенно произвольны, то получаем , что
а следовательно,
где — пока неопределенные постоянные.
Определение констант . Мы получили, что формулы
преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного
событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид
Для нахождения констант привлечем дополнительное
требование.
Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и
времени в системах отсчета K и согласованы таким образом,
что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K
имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые
координаты),
и наоборот.
Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0
получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно
точечного события приобретают следующий вид:
Теперь неопределенными остались только константы и .
Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы
получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому
полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и
установим ограничения на значения констант и .
Имеем:
Таким образом, приходим к заключению, что константы и
равны друг другу:
=
и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события
имеют следующий вид:
где — пока что неопределенная постоянная.
Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и
. Имеем уравнения
Следовательно,
и поэтому
Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:
которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных
приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на
друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется
относительно системы отсчета не в положительном, а в
отрицательном направлении оси с некоторой положительной
скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K
. Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
