Лекции по Математическому анализу .

Интегрирование с помощью подстановки.
Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия
дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на
промежутке Х , тогда справедливо:

Алгоритм интегрирования подстановкой.
1. Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является
табличным или сводится к нему так, что легко находится .
2. Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет
первообразной для исходного интеграла.

Алгоритм:
1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и
полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая
переменная.
2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится
от новой переменной.
3. В возвращ. к старой переменной.

Интегрирование по частям.
Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:
В интегралах с подынтегральным выражением вида:
(Pn –многочлен степени n )
Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u (
Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного
интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно
вычисляемого интеграла.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2х многочленов -
многочлены степени n и m соответственно.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше
степени знаменателя, обратно - неправильная.

Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части
приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен
называется целой частью неправильной дроби.

Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.
К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:
- вещественные постоянные
2.- вещественные постоянные,
3.
4.

Интегрирование 1го типа:

Интегрирование 2го типа:

Интегрирование 3го типа:
проводится в два этапа:
1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем
подстановки в известную форму)

Разложение рациональной дроби на простейшие.
В курсе алгебры доказываются утверждения

1 2 3 4 5 6 7