Лекции по Математическому анализу .

Интегрирование с помощью подстановки.
Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия
дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на
промежутке Х , тогда справедливо:

Алгоритм интегрирования подстановкой.
1. Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является
табличным или сводится к нему так, что легко находится .
2. Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет
первообразной для исходного интеграла.

Алгоритм:
1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и
полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая
переменная.
2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится
от новой переменной.
3. В возвращ. к старой переменной.

Интегрирование по частям.
Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:
В интегралах с подынтегральным выражением вида:
(Pn –многочлен степени n )
Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u (
Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного
интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно
вычисляемого интеграла.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2х многочленов -
многочлены степени n и m соответственно.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше
степени знаменателя, обратно - неправильная.

Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части
приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен
называется целой частью неправильной дроби.

Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.
К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:
- вещественные постоянные
2.- вещественные постоянные,
3.
4.

Интегрирование 1го типа:

Интегрирование 2го типа:

Интегрирование 3го типа:
проводится в два этапа:
1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем
подстановки в известную форму)

Метод неопределенных коэффициентов.
1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю
вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:
с неопределенным коэф. A1 …n
Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей
вида:
с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф.,
основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у
них равные коэффициенты при одинаковых степенях.
4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях,
получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Определенный интеграл

Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.
Вычисление площади криволинейной трапеции:
Df. Криволинейная трапеция – фигура на площади, ограниченной линиями с
уравнениями
1. Отрезок разобьем на n частей:

*********
Длина каждого отрезка
2. Т.к. - непрерывна на , то она непрерывна на каждом
частичном отрезке, принад. ****
3. Впишем в трапецию мн-к, состоящий из пр-в с основаниями,
совпадающими с частичными отрезками и высотой mi
Суммируем площади пр-в – получаем площадь трапеции.
Меняя n , получаем числовую последовательность площадей,
вписанных в многоугольник.
**********

4. Опишем около трапеции многоугольник

**********************************

Необходимое условие существование определенного интеграла.
Df. Пусть существует интеграл подынтегральная ф-ия
ограничена на
Доказательство:
Пусть - неограниченна на , то при любом разбиении этого
отрезка она неограниченна на каком-то из частичных отрезков ( ***на
частичном отрезке, мы можем сделать значение ф-ии в т. сколь угодно
большим по модулю ( интегральная сумма, соотв. этому прозв. разб. будет
неограниченна ( не имеет предела ( противоречит условию (ф-ия
ограничена на

Некоторые классы интегральных ф-ий.
Df. Любая ф-ия, для которой существует определенный интеграл на ,
интегрируема на этом промежутке.
Множество таких ф-ий обозначают
К интегрируемым на ф-иям относятся:
1. Ф-ии, непрерывные на
2. Монотонные на
3. Имеющие на отрезке конечное или счетное мн-во точек разрыва 1-го
рода.
Свойства определенного интеграла.
Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано
направление перехода от т. A к т. B.
1. Пусть сущ. определенный интеграл сущ. определенный
интеграл и справедливо равенство

2.
Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:
1. Пустьф-ииинтегрируемы на ***

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной
- справедлива формула
4. Аддитивность определенного интеграла:
Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков ,
тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.
1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна
( любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь
неотрицательный предел ( интеграл будет неотрицательным.

2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема
на , тогда
Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от
выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так,
чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения.
А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку
равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на
лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом
отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.
Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они
не совпадают а интегралы совпадают).
Д-во:
на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по
2му

4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на
, , то
5. Пусть инт-ма на ( модуль ф-ии тоже интегрируем на
и справедливо неравенство:

6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая
что
Интеграл как ф-ия переменного верх. предела.
Пусть ф-ия инт. на , , то она инт. на любом отрезке
между
Рассмотрим определенный интеграл . Из определения опр. интеграла
следует,что любому х соот. единст. значние этого интеграла.
Определенный интеграл с перемнного верх. предела – есть ф-ия своего
предела

1 2 3 4 5 6 7