Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) .

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(окончание)

14. Группы правильных многогранников.

Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида), что в
пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это - тетраэдр,
гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников
происходят от латинских числительных, указывающих количество граней этих
фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые авторы
причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник с 2
гранями, которые являются правильными n-угольниками. Эта фигура
удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник, за
исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу
-симметрий каждого из этих многогранников.
1. Диэдр.
Пусть диэдр
реализован в виде правильного n- угольника в плоскости ( и l - прямая,
перпендикулярная ( , проходящая через его центр симметрии. Группа
симметрий диэдра содержит повороты на углы, кратные 2(/n вокруг l. Кроме
того, если m -любая ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой
оси на 180( переводит диэдр в себя и действует на многоугольник так же
как отражение относительно этой оси в плоскости многоугольника. Таким
образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике совпадает с
диэдральной группой , но все ее элементы в рассматриваемом случае
реализуются вращениями. Эта группа обозначается и называется
пространственной диэдральной.(заметим, что ).
2. Тетраэдр.

Тетраэдр имеет
4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не
имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это,
прежде всего, вращения на углы, кратные 2(/3 вокруг 4 осей, проходящих
через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме
того тетраэдр само совмещается при поворотах на угол 180( вокруг осей,
соединяющих середины противоположных ребер (ось M на рисунке 1). Таким
образом группа тетраэдра T содержит 12 элементов.

3. Октаэдр и куб.
Эти два
многогранника двойственны в следующем смысле: центры граней куба являются
вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра суть вершины куба
(рис. 2, 3)
Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и
6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это
вращения на углы кратные (/2 вокруг трех осей, проходящих через центры
противоположных граней (ось L). Затем это вращения на углы кратные 2(/3
вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N).
Наконец имеется еще 6 поворотов на углы ( вокруг осей, проходящих через
середины противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное
преобразование мы получаем группу октаэдра W (она же группа куба) из 24
элементов.
4. Икосаэдр и додекаэдр.
Эти два многогранника находятся
в такой же двойственности, как куб и октаэдр - центры граней одного из
них являются вершинами другого и поэтому их группы симметрий совпадают.

Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр
соответственно 12, 30 и 20. Группа икосаэдра содержит повороты на углы
кратные 2(/3 вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных
граней, повороты на углы кратные 2(/5 вокруг 6 осей, проходящих через
противоположные вершины и, наконец, повороты на ( вокруг 15 осей,
проходящих через середины противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P
содержит 60 элементов.

Замечание 1.
По теореме 12 полные группы симметрии многогранников (включающие и
перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше элементов,
чем группы - симметрий. Это группы, , содержащие
соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов- поворотов и зеркальных
поворотов.
Замечание 2.
Группы правильных многогранников можно задавать соответствующим набором
кватернионов. Напомним, что поворот на угол ( вокруг оси, заданной
единичным вектором задается кватернионом q = cos(/2 +nsin(/2.
Приведем (без обоснования ) описание групп T, W и P с помощью кватернионов.
Группа T.
Выберем оси координат так, чтобы они проходили через середины
противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны).
Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида , а также 8 кватернионов
Оказывается, что произведение любых двух кватернионов указанного вида
снова будет кватернионом такого же вида. Всего мы имеем 24 кватерниона.
Если рассмотреть повороты, заданные этими кватернионами, то учитывая, что q
и (-q) задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12
элементов. Оказывается, что это в точности группа T.
Группа W.
Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К рассмотренным
выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида , где s и t какая то пара
(различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48 кватернионов, которые
задают группу вращений пространства из 24 элементов. Оказывается, что это в
точности группа W. Отметим, что, по построению - подгруппа. Это
включение возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары
противоположных вершин параллельных граней куба являются вершинами
тетраэдра и каждый поворот, входящий в группу T переводит куб в себя, то
есть содержится в группе W.
Группа P.
В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных граней
додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к ним
еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом.
Рассмотрим 4 числа , , , . Заметим, что Пусть
- четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа Их
действительно 96, поскольку . Всего получается 120 кватернионов,
задающих группу P из 60 элементов.

15.Классификация конечных групп вращений в пространстве.

Теорема 16.
Всякая конечная подгруппа совпадает с одной из групп ;

Доказательство.
Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько же элементов,
что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!)
часть рассуждений мы оставляем читателю.
Пусть G состоит из N элементов. Каждый элемент , отличный от
тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей
через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со
сферой радиуса 1 с центром О. Пусть - множество всех полюсов. Если s
-вращение вокруг оси l, проходящей через полюс x , то s(x) = x. Если g(x) =
y , то , то есть - вращение с полюсом y. Значит, G - группа
преобразований множества X. Пусть орбиты G на X. Число полюсов в
орбите согласно теореме 10 равно , где - порядок
стабилизатора орбиты. Значит, . Заметим, что . По лемме Бернсайда
.Отсюда получаем: . Если N=1, то . Пусть N>1. Тогда правая
часть последнего равенства - число ( между 1 и 2 (1((((). Поэтому k>1. Но,
поскольку , каждое слагаемое слева не меньше 1/2. Поэтому, 4 или
больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k =2 , то
или , откуда . Два полюса (на одной оси!) порядка N
соответствуют случаю группы . Пусть теперь k = 3. Соотношение
принимает вид: . Пусть . Если , то сумма слева меньше 1, что
невозможно. Значит, и равенство принимает вид: . Если , то
сумма не больше 1/2, что невозможно. Итак, или =3. Если , то
. Это случай группы . Пусть, наконец, . Имеем: , откуда
. Для находим N = 12, что соответствует случаю группы T. Для
получаем N = 24 - случай группы W, Наконец при - N = 60 и мы
приходим к группе P.
16.Пространственные группы, содержащие зеркальные отражения.

Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве содержащая
преобразования с определителем (-1). По теореме 12 такая группа содержит 2n
элементов , причем первые n ее элементов имеют определитель 1 и
составляют подгруппу G=G(() , а последние n имеют определитель (-1) и
получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный
элемент g с определителем (-1): Напомним, что буквой Z была
обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на
(). Это перемещение перестановочно с любым другим и .
Теорема 17.
Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(() =
{}, то ( = {}.
Доказательство.
Теорема очевидна, так как det(Z) = -1.
Замечание.
Группа ( в этом случае обозначается
Теорема 18.
Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(() =
{}, то множество является группой - преобразований .
Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то,
домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений (, для
которой G(() = G.
Доказательство.
Надо проверить, что и . Если , то эти условия выполнены
поскольку G - группа преобразований. Если ,то ни один из элементов
не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { }.
Поэтому . Аналогично, поскольку ни один из элементов не
входит в G, все произведения и потому . Таким же образом
убеждаемся, что и, значит, . Обратное утверждение теоремы
проверяется точно таким же образом.
Замечание.
Стандартное обозначение для ( в этом случае - .

Следствие.
Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения
совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки):
(2n), (4n), (24), (48), (120);
(2n), (2n), (4n), (24).
Замечание 1.
Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу,
указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В
противном случае используется конструкция теоремы 18.
Следовательно, это следующие группы:
, , , , .
Замечание 2.
Назовем флагом многогранника тройку ((( R, v), где (- некоторая его грань,
R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом
ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных
определений ), если для любых двух его флагов и существует
перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во
второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно
является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного
многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, =2Г(,
где Г - количество его граней, ( - количество ребер, ограничивающих
некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.

1 2 3 4 5