Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) .

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(продолжение)

11. Конечные группы перемещений.

В этом параграфе будут установлены некоторые общие свойства конечных
подгрупп группы , n = 1, 2, 3 .Пусть G - такая подгруппа.
Теорема 11.
Все перемещения из группы G имеют общую неподвижную точку: .
Доказательство.
Пусть задан набор чисел и система точек в пространстве
. Выберем начало координат и зададим точки радиусами векторами
. Положим . Если выбрать другое начало координат, то радиусы
векторы изменятся: . Следовательно, . Мы видим, что положение
точки P с радиусом вектором r не зависит от выбора начала при условии, что
. В частности можно взять . Соответствующая точка
называется центром тяжести данной системы точек.
Пусть . Выберем любую точку и пусть О центр тяжести орбиты точки
P: . Пусть теперь произвольный элемент. Поскольку орбиты точек P
и g(P) совпадают, имеем: , что и требовалось.
Замечание.
Если выбрать неподвижную точку O за начало координат, то можно считать, что
G - подгруппа группы .
Теорема 12.
Пусть - все те перемещения группы G, которые имеют определитель 1.
Предположим, что в G содержится также перемещение g с определителем (-1).
Тогда все элементы попарно различны и задают полный список перемещений
из G с определителем (-1).
Доказательство.
Умножая равенство на , получаем: и потому указанные
элементы различны между собой. Поскольку определитель произведения равен
произведению определителей, все эти перемещения имеют определитель (-1).
Остается проверить, что данный список содержит все перемещения с
определителем (-1). Пусть такое перемещение. Элемент имеет
определитель 1 и потому равен одному из элементов . Но тогда
.
12. Конечные группы перемещений плоскости.

Теорема 13.
Пусть подгруппа, состоящая из n элементов. Тогда G совпадает с
циклической группой .
Доказательство.
Будем интерпретировать как множество всевозможных поворотов
плоскости на угол ( вокруг некоторой точки O. Пусть любая точка
отличная от О. Если , то - тождественное преобразование.
Следовательно, St(A,G) - тривиальная подгруппа и по теореме 10 орбита
состоит из n точек, расположенных на окружности радиуса d(O,A) с
центром О. Будем проходить окружность в положительном направлении и
последовательно нумеровать точки орбиты : (). Из всех углов
= выберем наименьший .Если , то преобразование и
переводит точку в точку , то есть g = . Но тогда, если
- любая точка орбиты, то также точка орбиты и, поскольку внутри
дуги нет точек орбиты, из предположения следовало бы, что угол
меньше (, что невозможно. Итак, . Отсюда следует, что ((((/n,
точки орбиты - вершины правильного n -угольника Y и G совпадает с
множеством всех поворотов, которые переводят Y в себя, что и требовалось.
Замечание.
Мы не исключаем случаи n = 1 или 2. В первом случае - тривиальная
группа, а во втором она содержит тождественное перемещение и поворот на
180(.
Теорема 14
Всякая конечная группа G перемещений плоскости совпадает с одной из групп
или ( - группа, состоящая из тождественного преобразования
и отражения относительно некоторой прямой.).
Доказательство.
По теореме 11 можно считать, что все преобразования из G имеют общую
неподвижную точку О так что . Если все преобразования из G имеют
определитель 1 , по предыдущей теореме G совпадает с одной из циклических
групп. Пусть в G имеется преобразование g с определителем (-1). По теореме
12 полный список элементов G включает n поворотов и n отражений
. Повороты, входящие в G, образуют подгруппу , совпадающую с
по предыдущей теореме. Пусть - прямые, относительно которых
происходят отражения (зеркала из G). Заметим, что все эти прямые проходят
через начало координат О. Если и g - любой элемент этой группы, то
- отражение относительно прямой g(l). Значит, G - группа
преобразований множества . Отсюда следует, что - диагонали
правильного 2n - угольника с центром О. Поэтому - правильный n
угольник и G реализуется как его группа симметрий то есть .(Случаи n =
1 и n = 2 следует рассмотреть отдельно).
13. Лемма Бернсайда

Чтобы продвинуться дальше в изучении конечных групп преобразований
установим важный результат о количестве орбит такой группы. В следующей
теореме предполагается, что G - конечная группа преобразований конечного
множества X. Знак модуля используется для обозначения числа элементов
соответствующего множества. Обозначим через Fixg множество неподвижных
точек преобразования g: .
Теорема 15.
Число N = N(X,G) орбит группы G на X дается формулой:
.
Доказательство.
Напомним, что по теореме 10 , где k порядок стабилизатора орбиты, то
есть число элементов группы St(x,G). Пусть - все орбиты G и -
любой элемент. Тогда и потому . Как нам известно, , если x
и точки одной орбиты. Поэтому формулу можно записать в виде:

(1) Для всех и определим функцию ((x,g) =.
Заметим, что ; . Поэтому (1) можно
переписать: , что и требовалось.
Пример
Стандартный пример применения леммы Бернсайда - перечисление объектов,
обладающих определенной симметрией. Подсчитаем, например, количество
правильных шестиугольников вершины которых помечены символами 1 и 2, причем
одинаковыми считаются такие помеченные фигуры, которые совмещаются при
некотором повороте («проблема ожерелья с 6 бусинками»). Здесь элементами
множества X являются правильные шестиугольники (в некотором стандартном
расположении на плоскости), у которых в вершинах расставлены символы 1 и 2.
Ясно, что всего имеется =64 таких фигур. Группа является группой
преобразований X и надо подсчитать число орбит. Используя лемму Бернсайда,
сводим задачу к вычислению для каждого . Принадлежность
некоторого помеченного шестиугольника этому множеству означает, что те его
вершины, которые переходят друг в друга при повороте g имеют одинаковую
метку. Если g - тождественное преобразование, то и содержит 64
элемента. Если g поворот (в ту или другую сторону) на 60(, то все вершины
шестиугольника из имеют одинаковые метки и потому их количество равно
2. Аналогично, для поворота на 120( состоит из 4, а для поворота на
180( - из 8 элементов. Отсюда находим число орбит: N=1/6*(64+2*2+2*4+8) =
14. Если помеченные шестиугольники можно не только поворачивать, но и
подвергать отражению, то группа преобразований увеличивается до , а
число орбит, как нетрудно подсчитать, уменьшается до 13.
Другой пример применения леммы Бернсайда будет дан в следующем параграфе.

1 2 3 4 5