Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) .

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(продолжение)
9. Группы преобразований

Пусть X некоторое множество, Sym(X) - множество всех взаимно
однозначных отображений X на себя. Элементы называются
преобразованиями множества X.. Композиция двух таких преобразований будет
называться их произведением. Таким образом , (fg)(x) = f(g(x)). Отметим,
что это произведение ассоциативно: (fg)h = f(gh).Для каждого
преобразования f имеется обратное преобразование . Непустое множество
G преобразований X называется группой преобразований, если:
1.
2.
Заметим, что каждая группа преобразований G содержит тождественное
преобразование i. В самом деле, пусть - любой элемент. Тогда и
значит . Число элементов в G, если оно конечно, называется порядком
группы преобразований. Если H и G две группы преобразований множества X и
, то H называется подгруппой G.
Приведем два основных примера групп преобразований. Пусть - любое
подмножество и любая группа преобразований.
1. Множество всех таких преобразований , что f(y) =y образует
подгруппу (сиационарные на Y преобразования).
2. Множество всех таких преобразований , что образует
подгруппу (G - симметрии множества Y).
Приведем теперь более конкретные примеры.
1. Если X ={ 1, 2, ... , n } то группа Sym(X) обозначается и состоит
из всех подстановок степени n . Эта группа состоит из n! элементов.
2. Множество всех перемещений n - мерного пространства образует
группу преобразований . - подгруппа.
3. Пусть некоторая точка (начало координат). Группа состоит из
всех перемещений сохраняющих начало координат. Как нам известно, такие
перемещения можно отождествить с ортогональными операторами в . Эта
группа называется группой ортогональных преобразований n - мерного
пространства и обозначается . Каждое перемещение имеет определитель
(1 . Множество перемещений с определителем 1 образует группу, которая
обозначается (специальная группа). Аналогичный смысл имеет
обозначение .
4. Пусть Y - прямоугольник (не квадрат!) на плоскости . Группа
состоит из четырех преобразований: тождественного, поворота на 180(
и двух отражений относительно взаимно перпендикулярных осей. Стандартное
обозначение этой группы . Аналогично, группа из двух элементов
и обозначается .
5. Пусть Y - правильный n - угольник ( n = 3, 4, ... ) на плоскости. Группа
состоящая из 2n элементов обозначается , а - и
состоит из n элементов. Первая из них называется диэдральной, а вторая -
циклической . Смысл этих названий будет пояснен в дальнейшем. По
определению будем считать, что группа состоит из одного
тождественного перемещения i.
6. Пусть Y - фигура, образованная бесконечной в обе стороны
последовательностью букв Г: ...Г Г Г Г ...Если h - вектор, начало
которого совпадает с «углом» одной из этих букв, а конец с «углом»
соседней, то группа состоит из переносов на векторы равные nh , где
n = 0, (1, ((( ... . Эта группа называется бесконечной циклической и
обозначается .
7. Орбиты и стационарные подгруппы.

Пусть G группа преобразований множества X, некоторая точка.
Множество называется орбитой точки x. Подгруппа называется
стационарной подгруппой точки x. Приведем некоторые примеры.
1. Рассмотрим группу G = вращений плоскости вокруг некоторой точки
P. Если x некоторая точка плоскости отличная от P, то ее орбита
представляет собой окружность с центром P радиусом d(x , P). Орбита
же точки P состоит из этой единственной точки. Стационарная подгруппа в
первом случае тривиальна (то есть состоит из одного тождественного
перемещения), а во втором совпадает со всей группой .
2. Возьмем группу G = симметрий правильного треугольника ABC на
плоскости (см. пример 5 выше). Пусть оси симметрии треугольника,
пересекающиеся в центре треугольника точке P. Если точка x плоскости не
лежит ни на одной из осей симметрии, то ее орбита состоит из 6 точек,
являющихся вершинами шестиугольника со сторонами перпендикулярными этим
осям. Стационарная подгруппа в этом случае тривиальна. Если x лежит на
одной из осей, но не совпадает с P, то - правильный треугольник с
вершинами на осях симметрии, а группа St(x) совпадает с . Наконец,
состоит из единственной точки P, а St(P) совпадает со всей группой
.
3.Пусть X ={ 1, 2, ... , n }, G = . Орбита любой точки
совпадает со всем множеством X. В этом случае группа называется
транзитивной на множестве.
Установим теперь некоторые общие свойства орбит и стационарных подгрупп.

Теорема 8
Пусть G группа преобразований множества X. Тогда:
1.
2.
3.
Доказательство.
Как отмечалось выше, тождественное преобразование i содержится в любой
группе преобразований. Следовательно, i(x) = x и первое утверждение
доказано. Если , то y = g(x) для некоторого g. Если любой
элемент, то (y) = и потому . Но поскольку x =(y) и
значит справедливо и обратное включение. Тем самым доказано и второе
утверждение. Наконец, если и z =g(y) = (x), то y = (x), то
есть , что доказывает третье утверждение.
Следствие.
Любая группа G преобразований множества X задает разбиение ( этого
множества на непересекающиеся непустые подмножества - орбиты : .
Теорема 9.
Пусть, как и выше G группа преобразований множества X. Если x = g(y), то
отображение является взаимно однозначным соответствием между
подгруппами St(x) и St(y).
Доказательство.
Поскольку , отображение ( имеет обратное: и потому взаимно
однозначно на множестве X. Если то есть h(x) = x, то ((h)(y) =
= (h(g(y))) = (h(x)) = (x) = y. Следовательно, .
Аналогично, , что и требовалось.
Следствие.
Если x и y точки одной орбиты и St(x) конечная группа из k элементов, то и
St(y) - конечная группа из k элементов. Число k называется порядком
стабилизатора орбиты.
Теорема 10.
Пусть G конечная группа преобразований множества X . Число элементов орбиты
равно , где - число преобразований в G, а k - порядок
стабилизатора орбиты.
Доказательство.
Пусть y любой элемент, y = g(x). Если, то (gh)(x) = g(h(x)) =
g(x) = y. Обратно, если (gh)(x) = y, то h(x) = (y) = x и,
следовательно, . Итак, количество элементов G, переводящих x в y равно
порядку стабилизатора орбиты k. Следовательно, общее число элементов G
равно числу элементов орбиты, умноженному на k, что и требовалось доказать.

1 2 3 4 5