Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) .

                           ГРУППЫ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
                                (продолжение)

                                5.Кватернионы

Удобный способ аналитической записи перемещений в пространстве дают
кватернионы , являющиеся обобщением комплексных чисел. Чтобы подчеркнуть
аналогию между способами построения кватернионов из комплексных чисел и
построением комплексных чисел из вещественных сравним обе конструкции.
Построение комплексных чисел                      Построение кватернионов
|1. Комплексное число z = a + bi   |1. Кватернион q = z + wj - это|
|-это матрица вида , где |матрица вида ,      |
|. Действия над ними          |где. Действия над ними   |
|производятся по правилам алгебры  |производятся по правилам      |
|матриц.                           |алгебры матриц                |
|Отсюда вытекает, что для этих чисел имеют место те же законы     |
|действий, что и для матриц, т.е. ассоциативность умножения и     |
|закон дистрибутивности. Непосредственно проверяется              |
|коммутативность умножения комплексных чисел(но не кватернионов!) |
|2. Число вида a + 0i можно        |2. Число вида z + 0j можно    |
|отождествить с вещественным числом|отождествить с комплексным    |
|a и таким образом  .         |числом z и таким образом      |
|                                  |.                        |
|Модулем числа z называется        |Модулем числа q называется    |
|вещественное число =.,  |вещественное число=      |
|= 0 ( z =0                   |.                   |
|                             |                         |
|4. Число  = a - bi называется|4. Число  =  - wj   |
|сопряженным к числу a + bi . Легко|называется сопряженным к числу|
|проверить, что число сопряженное с|z + wj Легко проверить, что   |
|произведением равно произведению  |число сопряженное с           |
|сопряженных чисел. Заметим еще ,  |произведением равно           |
|что  = . Отсюда         |произведению сопряженных чисел|
|вытекает, что всякое ненулевое    |в обратном порядке. Заметим   |
|комплексное число z имеет обратное|еще , что . Отсюда       |
|.                            |вытекает, что всякий ненулевой|
|                                  |кватернион имеет обратный     |
|                                  |, причем            |
|Обратное число определено однозначно так как ему отвечает        |
|(однозначно определенная !) обратная матрица.                    |
|5. Действия над комплексными      |Действия над кватернионами,   |
|числами, записанными в            |записанными в виде z + wj     |
|алгебраической форме производятся |производятся по обычным       |
|по обычным правилам алгебры с     |правилам алгебры с учетом     |
|учетом того, что  . Таким    |того, что  и jz =   |
|образом, (a + bi)(c + di) =       |Таким образом, (z + wj)(( +   |
|(ac-bd) + (ad - bc)i .            |(j) = (z( - w) + (z( +   |
|                                  |w)j.                     |
|6. Если , число z будет      |6. Если , число q будет  |
|вещественным. Число, для которого |вещественным. Число, для      |
| называется чисто мнимым; оно|которого называется чисто|
|имеет вид bi .z = Re(z) + Im(z).  |мнимым; оно имеет вид bi + cj |
|                                  |+ d ij .Произведение ij       |
|                                  |обозначается k .   q = Re(q) +|
|                                  |Im(q).                        |

                   6. Связь с векторной алгеброй в .

           В этом параграфе нам придется рассматривать одновременно
несколько разных произведений. Крестом (() будем обозначать векторное
произведение в ,точкой (() - скалярное произведение, а звездочка (()
будет использована для умножения кватернионов. Пусть q =bi + cj +dk - чисто
мнимый кватернион. Пользуясь формулами предыдущего параграфа, нетрудно
подсчитать, что , ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = - ik = j. Если
кватернионам i , j ,k поставить в соответствие правый ортонормированный
базис (i, j, k) пространства, то чисто мнимый кватернион q = bi + cj +
dk можно интерпретировать как вектор в пространстве и мы видим, что
умножение двух чисто мнимых кватернионов сводится к операциям векторного и
скалярного умножения в : q(r = -q(r + q(r . Отсюда следует, что q(r
+r(q =-2q(r  - вещественное число, а  q(r - r(q =2 q(r - чисто мнимое
число.
Следствие
Пусть p и q - мнимые части кватернионов P и Q  соответственно. Кватернионы
P и Q коммутируют (то есть P(Q = Q(P ) тогда и только тогда, когда векторы
p и q коллинеарны.
В самом деле, поскольку вещественные числа коммутируют с любым
кватернионом, P(Q = Q(P  p(q = q(p  то есть -p(q + p(q = -q(p + q(p
 p(q = q(p  p(q =0.
Используя кватернионы можно вывести некоторые свойства векторного
произведения.
Теорема 5.
1. Для любых трех векторов p , q , r  имеет место равенство
                       (p(q) (r + (q(r) (p + (r(p) (q =0   (Тождество
  Якоби)
2. (p(q) (r = (r(p)q - (q(r)p


Доказательство.
      Поскольку q(r = q(r + q(r, имеем: (p(q) (r=(p(q)(r +(p(q)(r = (p(q)
(r + (p(q)r + (p(q)(r ; последнее слагаемое - смешанное произведение (pqr).
Производя круговую перестановку, получим: (q(r)(p = (q(r)(p + (q(r)p +
(pqr).Сложим эти формулы и учтем ассоциативность умножения кватернионов:
(p(q) (r + (q(r)(p = (p((q(r)) + (q(r)(p) + (p(q)r + (q(r)p + 2(pqr). (1)
Заменяя обратно q(r = - q(r + q(r, преобразуем первую скобку A = -2 (q(r)p
+ [p((q(r) + (q(r)(p]. В квадратной скобке стоит произведение чисто мнимых
кватернионов и потому она будет вещественным числом. Учитывая, что левая
часть формулы (1) - чисто мнимое число, получаем окончательно: (p(q) (r +
(q(r)(p = (p(q)r - (q(r)p. Производя круговые перестановки, получаем 2
аналогичных равенства:
(q(r) (p + (r(p)(q = (q(r)p - (r(p)q                 (2)
(r(p) (q + (p(q)(r = (r(p)q - (p(q)r. Складывая все 3 равенства, получаем
тождество Якоби: (p(q) (r + (q(r) (p + (r(p) (q =0 Вычитая из этого
тождества равенство (2) , получим: (p(q) (r = (r(p)q - (q(r)p.
                      7. Связь с перемещениями в .
       Пусть p - чисто мнимый кватернион, а s(0 - любой кватернион. Пусть q
= . Тогда . Учитывая, что  и , получаем , то есть
этот кватернион чисто мнимый. Таким образом возникает отображение :
.Заметим, что  Поскольку ,  - линейный оператор,
сохраняющий скалярное произведение.
Теорема 6.
Det() = 1.
Доказательство.
Пусть e = (i,j,k). Тогда = () и Det() равен определителю
этой матрицы то есть смешанному произведению ее столбцов . Имеем:
= +. Второе слагаемое равно 0 так как =0, а первое
преобразуется следующим образом: = . Поэтому, ()==1.
Как нам известно, ортогональная матрица с определителем 1 задает поворот в
. Вектор v параллельный оси вращения удовлетворяет условию  ( v
)=v Интерпретируя v как чисто мнимый кватернион, заметим, что условие 
означает, что v и s коммутируют. Значит, если Im(s) (0, v =
(Im(s).Подсчитаем теперь угол поворота (. Пусть s = a + v, где v(0. Пусть
вектор p ортогонален оси вращения v. Тогда v(p =v(p .Имеем:  = (a - v)
p(a + v) = + 2ap(v - (v(p)(v. Используя формулы предыдущего параграфа,
получаем: (v(p)(v = . Итак,  = () Второе слагаемое в
скобке можно записать как . Значит, cos( = , sin( =.Если
определить угол ( = arccos(), то ( = 2( +2(n. Таким образом, поворот
на уголвокруг оси, заданной единичным вектором n задается формулой
, где s = cos((/2) + n sin((/2). Композиция двух поворотов ,
заданных кватернионами s и t = cos((/2) + m sin((/2) задается формулой
и, следовательно, равна . Находим: s(t = cos((/2) cos((/2)-(n(m)
sin((/2) sin((/2) + n sin((/2) cos((/2) + m cos((/2) sin((/2) + (n(m)
sin((/2) sin((/2). Вещественная часть этого кватерниона равна косинусу
половины угла поворота, а мнимая часть определяет направление оси вращения.
Преобразование  является зеркальным поворотом. Особо отметим случай
вещественного s . В этом случае оно имеет вид:  (зеркальный поворот на
180 градусов) и является центральной симметрией. Обозначим его буквой Z и
отметим, что оно перестановочно с любым оператором.
Переходя к перемещениям мы видим, что формула , где как и выше s =
cos((/2) + n sin((/2) задает поворот на угол ( вокруг оси, заданной
единичным вектором  n и точкой , а та же формула со знаком (-) задает
зеркальный поворот.
                 8. Перемещение как произведение отражений.
       Теорема 7
1. Всякое ортогональное преобразование n- мерного векторного пространства
  можно представить в виде композиции не более чем n отражений.
2. Всякое перемещение n - мерного точечного пространства можно представить
  в виде композиции не более чем (n+1) отражений.
    Доказательство.
Условимся, что произведение пустого множества преобразований является
тождественным отображением. Приняв это соглашение, мы видим, что при n = 1
первое утверждение очевидно. При n = 2 для доказательства того же
утверждения достаточно заметить, что композиция двух отражений относительно
осей, составляющих угол (/2, будет вращением на угол (. Таким же образом
пространственное вращение представляется в виде композиции двух отражений
относительно плоскостей, проходящих через ось вращения. Наконец, зеркальный
поворот требует еще одного дополнительного отражения относительно плоскости
перпендикулярной оси.
Для доказательства второго утверждения отметим прежде всего, что перенос
(скажем на плоскости) на вектор h можно представить в виде композиции двух
отражений относительно параллельных осей, перпендикулярных h. Поскольку
всякое перемещение можно рассматривать как композицию перемещения,
сохраняющего начало координат(которое можно отождествить с соответствующим
ортогональным оператором) и параллельного переноса, второе утверждение
доказано для всех таких перемещений, для которых соответствующая матрица
представляется в виде композиции 
1  2  3  4  5