Теория управления .

22. Принцип максимума Понтрягина на языке опорных функций.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , .Задано , u: I
и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I . В фазовом пространстве заданы
два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I
осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество ,
если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
и . Цель управления- перевод динамический объекта из в
, а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время,
следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого
допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в
за наименьшее время. (4).
, где -ненулевая вектор-функция. , . Если -
оптимальное управление, переводящее , то .
Для нашей задачи : . удовлетворяет принципу максимума
Понтрягина на , если существует не нулевая вектор -функция. ,
удовлетворяющая системе с нач. условием , такая что выполняется
условие:
1) -здесь достигается максимум.
2);
3).
Теорема о необходимых условиях оптимальности. Если в линейной задаче
быстродействия мн-ва выпуклы, -оптимальное управление,
переводящее на отр. , а -соответствующая траектория, то пара
удовлетворяет принципу максимума Понтрягина.
23. Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней).
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же
размерность, что и , .Задано , u: I и
полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым
управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного
отображения U u(t)U(t) - ограничения на управления . В
фазовом пространстве заданы два не пустых множества , -
выпуклы. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из
начального мн-ва в конечное множество , если существует решение
уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель
управления- перевод динамический объекта из в , а качество
определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого
управления, которое осуществляет переход из
множества в за наименьшее время..
Пусть оптимальное управление, -соответствующая траектория,
переводящая за время I . И - ненулевая функция, такая что
(2).
1)(3);
2)(4);
3)(5)
Найти :

24. Достаточное условие оптимальности.
( Вначале написать вопрос «Применение необходимых условий
оптимальности(схема и пояснения к ней»)
Для линейной задачи существует дост. условие. Для этого необходимо
выполнение дополнительных условий: усиление условия трансверсальности 4)
решение удовлетворяет усиленному условию трансверсальности на на
отр., если для (6).
Достаточное условие: если допустимое управление, -
соответствующая траектория, переводящая за время I и пара
удовлетворяет принципу максимума Понтрягина (2-5) и усиленному условию
трансверсальности (6), то - оптимальное управление.
Следствие из теоремы достаточного условия трансверсальности. Используем
локальную управляемость: .Если некоторое допустимое управление, а
- соответствующее решение (1), переводящее за время I,
удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и объект явл. локально
управляемым в т.0 на любом отр., то управление - оптимально.

25. Единственность оптимального управления для линейной задачи.
( В начале написать вопрос «Применение необходимых условий
оптимальности(схема и пояснения к ней)»)
При решении с использованием принципа максимума Понтрягина в пунктах 3,4
нарушается единственность. При выборе из условия 4 и выборе из
условия (3). Пусть задана и сопряженная функция удовлетворяющая
системе (2), если опорная функцияявляется дифференцируемой по в
точке , т.е. в этой точке существует градиент функции и для почти
всех дифференцируемая по , то соответствующая пара ,
удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.
Следствие: Если мн-во и строго выпуклы для почти всех t ,
принадлежащих I, тогда для любого начального значения ,
соответствующая пара , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина,
является единственной.

1 2 3 4 5