Теория управления .

17.Численное решение задачи управляемости.
Объект управляем на I=, если выполняется . Если
множнство ,, таковы что аналитически невозможно получить
значение опорной функции u
Вычисление матрицы и интеграл, тогда задача решается с применением
ЭВМ. На ЭВМ решается для конечного числа . Для этого сфера покрывается
-сетью. В двумерном пространстве -сеть определяется углом .
В трехмерном пространстве -сеть определяется двумя углами. Пусть
некоторая -сеть некоторой единичной сферы S, где -конечное
множество. Какой бы вектор , найдется , такой что . Пусть
вычислимое приближенное значение в точках -сети. ,
. Необходимо, чтобы - в этом случае говорим, что объект -
управляем и при этом . Отсюда имеем следующее . Если , то
-объект E-управляем. Если <0, то <-объект не управляем.
Если , то в этом случае неопределенность. Выясним вопрос о
погрешности.и -погрешность для вычисления опорной функций и
.- погрешность для вычисления . По условию Липшица ,
. Используем эти формулы , получим следующие погрешности: -
погрешность для вычисления -предполагается, что она интегрируема по
Лебегу. -это вычисление интеграла . - погрешность для
вычисления . -погрешность вычисления минимума функций. ,
. +++++++

18. Лемма о внутренней точке.
Пусть А- квадратичная матрица размера nxn , V-произвольный вектор пр-
ва, отрезок I=. Тогда , тогда и только тогда , когда векторы
линейно независимы.
Под интегралом- многозначное отображения, интеграл от многозначного
отображения – тоже многозначное отображения.
Доказательство : Обозначим F=. По свойствам опорной функции для того
чтобы нужно, чтобы выполнялось условие , .
=
==
==.Т.к. подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна,
то условие , выполняется тогда и только тогда, когда на
интервале I . Покажем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы
были лин. независимы.
Необходимость: (доказательство от противного)
эквивалентно , -лин.независимы .Предположим, что векторы
лин. зависимы. Для 3-х векторов : ; - лежат в одной
плоскости, ; . Тоже самое для n- векторов: ,
Пришли к противоречию, необходимость доказана.
Достаточность: (от противного)
Если векторы линейно независимы, то такой, что , .
Продифференцируем n-1 раз:0= .Отсюда следует: , где -
невырожденная матрица, -не нулевой вектор и , а это означает,
что векторы лин.зависимы .Получили противоречие.
перпендикуярен .

19. Локальная управляемость. Теорема о локальной управляемости..
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же
размерность, что и , .Задано , u: I и
полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым
управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного
отображения U (2) u(t)U(t)- ограничения на управления .
В фазовом пространстве заданы два не пустых множества.
Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-
ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1),
удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления-
перевод динамический объекта из в , а качество определяет
функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого
управления, которое осуществляет переход из
множества в за наименьшее время. (4).
Предположим, что , а мн-во -произвольные точки из
окрестности .
Сделаем линейную замену:,где -функции, получим , , где
,, поэтому вместо точки можно рассматривать т.0 и будем
говорить о локальной управляемости в т.0. Т.е. если объект локально
управляем в т.0, то он локально управляем в любой точки .
Определение: Объект наз. локально управляем в т. =0 на отр.I , если
объект явл. Управляемым на отр.I из т..
Для решения задачи применим теорему об управляемости, но для конкретной
местности. Исходя из теоремы об управляемости, объект явл. управляемым из
в на I , если >=0.

20. Теорема о локальной управляемости. (дает достаточное условие локальной
управляемости)
Если вектор и выполняются два условия:
1), ;
2) -лин. независимы, тогда объект явл. локально управляем в точке x=0
на отр. I.
Доказательство: В силу определения локальной управляемости выполняется
условие .
, получим (1) . Покажем, что , такое , что выполняется
(1) и . По предположению теоремы 1) выполняется , получим
. Сделаем оценку для левой части неравенства. Оценим интеграл:
,
т.к. и выполняется 2) , то 0 явл. внутренней точкой интеграла:,
а это означает, что опорная функция >0, . Из свойств опорной функции
следует, что опорная функция непрерывна по . Если опорная функция
непрерывна, >0, и S –компактное, это означает, что , такое что ,
, . Т.о. оценили левую часть неравенства (1), покажем , что для
правой части , которая зависит от , по этому можно найти .
Покажем , что . Оценим

, отсюда имеем .
,, а это значит , объект локально управляем в точке
x=0.

21. Теорема о существовании оптимального управления.
Если объект является управляемым из множества на отр. , то
существует переводящее объект из за время -
оптимально управляем.
Рассмотрим -множество всех допустимых управлений, переводящих
объект из . Т.к. объект является управляемым , то . Обозначим
через попадания фазового вектора на множестве , т.е. .
Следовательно за меньшее невозможно перейти.
Докажем, что , переводящее объект из за , при этом
считается фиксированым. Т.к. , то последовательность
перехода, сходящаяся к . удовлетворяет мн-во достижимости
(пустое мн-во). Пусть для . Т.к. множество замкнуто и
ограничено, то из можно выбрать подпоследовательность .
Пусть дано . Т.к. сходящаяся к.
Т.о. . Множество непрерывно по аргументу , т.е. начиная с
какого-то номера . . Т.к. произвольная, а мн-во
компактно, то . Т.к. и , то это обозначает, что
(пустое мн-во) и это означает, что , переводящее объект из за
. И т.к. , то - оптимальное управление. Теорема док-на.

1 2 3 4 5