Теория управления .

13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.
F-многозначное отображение, такое что F: I, где , -
замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество
G (G) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным
ветвям отображения
F(t) .
Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет
условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на
отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в
пространстве , и выпукло.
Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет
условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на
отрезке I и измерима, тогда опорная функция .

14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции.
Теорема Каратеодори.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же
размерность, что и , .Задано , u: I и
полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым
управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t)
- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не
пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I
осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество ,
если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
(4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в
, а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время,
следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого
управления, которое осуществляет переход из множества в за
наименьшее время. (4).
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: , , где
u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: , оно
справедливо, если u- непрерывная.
Вычислим (это следует из ).
Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее
производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по
Лебегу производная и выполняется условие: .
Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1)
также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не
будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.
Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр.
I, то для любого начального значения существует и при том единое абс.
непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.

15. Множество достижимости и его свойства.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же
размерность, что и , .Задано , u: I и
полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым
управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t)-
ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не
пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I
осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество ,
если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
(4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в
, а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время,
следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого
управления, которое осуществляет переход из множества в за
наименьшее время. (4).
Введем понятия мн-ва достижимости: -это множество все точек фазового
пространства , в котором можно перейти на отр. из начального
множества по решениям (1) при всех допустимых значениях управления
u(t) в момент времени .
Рассмотрим свойства множества достижимости:
1) Используем формулу Коши: , -интеграл от многозначного
отображения. Доказательство непосредственно подставлением в уравн (1).
2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством пр-
ва . .
Доказательство следует из формулы Коши и 1-ой теоремы для интеграла
многозначных отображений.
3) Если начальное множество выпукло, то множество достижимости
также выпукло. Доказательство следует из формулы и теоремы о
выпуклости интеграла от многозначного отображения.
4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: , u(s)=U.
Доказательство следует из формулы , свойств (3), (4) опорных функций ,
теоремы 2 и того факта, что .
Доказательство:
.
5) Мн-во достижимости: : Iнепрерывно зависит от аргумента
. Множество достижимости имеет вид : -непрерывна по
теореме 3, матрица также непрерывна по , следовательно линейное
отображение непрерывная функция.
Пример: Найти мн-во достижимости для управляемого объекта, описываемого
уравнением:.
, и , I.
,, , , , . , .

16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости.
Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?»
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой
(1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же
размерность, что и , .Задано , u: I и
полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция
интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым
управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного
отображения U (2) u(t)U(t)- ограничения на управления .
В фазовом пространстве заданы два не пустых множества.
Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-
ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1),
удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления-
перевод динамический объекта из в , а качество определяет
функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого
управления, которое осуществляет переход из множества в за
наименьшее время. (4).
Задача управления- решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое
управление u(t) , переводящий динамический объекта из в , на отр.
времени I. Это соответствует решению краевой задачи: , .
Определим таким образом.
Теорема об уравляемости.Если и выпуклы, то объект явл.
управляемым на отр. I из мн-ва в , тогда и только тогда, когда
для
Док-во: Очевидно, объект управляем тогда и только тогда, когда множество
достижимости и пересекаются. Т.к. и
выпуклы, то для него применим следствие из 11 св-ва опорных фун-ий
().
,;

;
Bocпользуемся еще одним св-ом опрных функий: если - невырожденная
матрица, то можно воспользоваться св-вом , что :

В силу положительной опорной фун-ии относительно аргумента ,
получаем, что это верно .
Теорема док-на, т.к. левая часть неравенства и есть .

1 2 3 4 5