Экзаменационные билеты по математике .

примерный перечень экзаменационных вопросов

Математика. Базовый курс (Для экономистов и менеджеров)

1. Пересечение множеств. Объединение множеств. Разности множеств. Диаграммы
Венна.
2. Взаимно-однозначного соответствия множеств А и В.
3. Область определения и область значений числовой функции. Описать области
определения и значений функций: y = x4 , y = cos(x).
4. График числовой функции. Построить графики функций у = ctg(x),
y=ln(x),
5. Счетные множества. Привести пример счетного множества, и проверить, что
оно счетно, исходя из определения.
6. Определение арифметической прогрессии. Формулы для п-го члена прогрессии
и суммы первых п членов.
7. Дать определение геометрической прогрессии. Формулы для п-го члена
прогрессии и суммы первых п членов.
8. Дать определение высказывания и неопределенного высказывания.
9. Дать определение коньюнкции высказываний. Построить коньюнкцию
высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х делится на
5". Истинна ли коньюнкция при х = 5?
10. Дать определение дизъюнкции высказываний. Построить дизъюнкцию
высказываний "целое число х делится на 7" и "целое число х имеет остаток
3 от деления на 7". Истинна ли дизъюнкция при х = 10?
11. 19. Дать определение импликации высказываний. Построить две возможные
импликации высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х
делится на 6".
12. Объясните понятия: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное
условие.
13. Определение суммы векторов. Свойства операции сложения. Сумма векторов,
заданных своими координатами.
14. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формула скалярного
произведения в координатах.
15. Угол между векторами. Формула для косинуса угла в координатах. Условие
ортогональности векторов.
16. Полярная система координат на плоскости. Связь координат точки в
полярной и прямоугольной системах координат.
17. Угловое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл
коэффициентов.
18. Общее уравнение прямой на плоскости.
19. Формула угла между прямыми на плоскости, заданными своими угловыми
уравнениями. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на
плоскости.
20. Формула для уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки.
21. Геометрическое определение эллипса. Фокусы, вершины, центр эллипса.
22. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл его параметров.
Формулы координат фокусов. Формулы для координат вершин и
эксцентриситета. Привести пример.
23. Геометрическое определение гиперболы. Фокусы, вершины, центр гиперболы.

24. Каноническое уравнение гиперболы. Геометрический смысл его параметров.
Формулы координат фокусов. Формулы координат вершин и уравнения
асимптот. Привести пример.
25. Геометрическое определение параболы. Вершина, директриса, фокус
параболы.
26. Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл его параметра.
Формула координат фокуса и уравнения директрисы. Привести пример.
27. Уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл его
коэффициентов.
28. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
Геометрический смысл его коэффициентов.
29. Угол между плоскостями в пространстве. Формула косинуса угла.
30. Угол между прямыми в пространстве. Формула косинуса угла.
31. Основные правила вычисления пределов. Неопределенность типа [].
32. Сформулировать первый и второй замечательный пределы.
33. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Точки разрыва
первого и второго родов. Привести пример точки разрыва функции.
34. Дать определение производной. Геометрический смысл производной.
35. Определение и достаточный признак возрастания функции на интервале.
36. Определение и достаточный признак убывания функции на интервале..
37. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух
функций.
38. Правило дифференцирования сложной функции.
39. Определение точки локального минимума функции. Необходимое условие
минимума. Достаточное условие минимума.
40. Определение точки локального максимума функции. Необходимое условие
максимума. Достаточное условие максимума.
41. Алгоритм нахождения интервалов возрастания и убывания функции.
42. Алгоритм нахождения максимума и минимума функции на отрезке.
43. Нарисовав чертежи, дать определения участков выпуклости и вогнутости
графика функции, точек перегиба.
44. Алгоритм нахождения точек перегиба, участков выпуклости и вогнутости
графика функции.
45. Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм
нахождения наклонной асимптоты.
46. Определение первообразной и неопределенного интеграла функции.
47. Правило замены переменной под знаком интеграла.
48. Правило интегрирования по частям неопределенного интеграла.
49. Определение определенного интеграла функции на отрезке. Геометрический
смысл определенного интеграла.
50. Формула Ньютона – Лейбница.
51. Стохастический (случайный) эксперимент, событие, элементарные события.
52. Определение суммы и произведения двух событий, события противоположного
к данному.
53. Классическое определение вероятности.
54. Геометрическое определение вероятности.
55. Определение суммы двух событий. Формула вероятности суммы двух событий
и привести пример ее применения.
56. Определение условной вероятности.
57. Определение независимых событий. Формула вероятности произведения
независимых событий.
58. Формула полной вероятности.
59. Дискретная случайная величина. Привести пример.
60. Непрерывная случайная величина. Привести пример.
61. Определение и свойства функции распределения случайной величины.
62. Определение и свойства функции плотности вероятности непрерывной
случайной величины.
63. Числовые характеристики дискретной случайной величины - математическое
ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
64. Числовые характеристики непрерывной случайной величины - математическое
ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
65. Схема Бернулли. Формула Бернулли и условия ее применения.
66. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения.
67. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа и условия ее применения.
68. Нормальное распределение. Смысл центральной предельной теоремы. Правило
«трех сигм»? Как оно может применяться на практике?
69. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С
выполняется А (В С) = (А В) (А С)»?
Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.
70. Показать на числовой прямой множества А = [-5, 1] и В = (-?, -1). Найти
и показать штриховкой А В.
71. Для множеств А = {-4, -1, 4, 9}, В = {-1, 4, 6, 9} найти А В и А
В.
72. Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным
соответствие, сопоставляющее каждому автомобилю его номер.
73. Проверить, исходя из определения, какие из функций являются четными,
какие нечетными: y = cos (x), y = eх, y = x 5 .
74. В результате опроса 100 жителей г. Москвы выяснилось, что 58 человек
имеют автомобиль, 42 – дачу, 21- ни того, ни другого. Сколько человек
имеют и машину и дачу?
75. Определить, какие из точек К (0, -4), L (-1,1), M (6, -9) принадлежат
множеству А = {(x,y) : x2 + 1 ? y ? -x -3}.
76. Даны числовые множества: А = {3х | x целое}, В = {х2 | х целое}, С= (-
2, 12). Найти (А С) \ В.
77. Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить
истинность высказывания (a ) ( c.
78. Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего
рассуждения: все а являются b и ни одно b не является с, следовательно,
ни одно с не является а.
79. Найти область определения функции .
80. В первую сессию торгов акции компании подешевели на 25%, во вторую
подорожали на 20% по отношению к первой. На сколько процентов изменилась
цена акции за 2 сессии?
81. Найти сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии: 8, 2, 0.5,
… .
82. Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, если первый член
равен 2, а четвертый -32.
83. Числовая последовательность определяется следующим условием: .
Найти , если .
84. Разность арифметической прогрессии равна 2, а сумма первых 3 равна 0.
Найти сумму первых 5 членов.
85. Найти длину вектора 2 – , если дано: {1, -3, 4},
{6, -7, 4}.
86. Найти косинус угла между векторами и , если известно:

{3, 0, 1}, А (2, 1, 2), В (3, 1, -1).
87. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если
известно:

А (0, 3), В (3, 6), С (-5, 2).
88. Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если
известно:

А (3, 2), В (3, 1), С (0, 2).
89. Найти координаты вершин и фокусов эллипса 4х2 + 9у2 = 36.
90. Найти координаты вершин и фокусов эллипса 25х2 + 4у2 = 100.
91. Найти координаты вершин и фокусов гиперболы 4х2 - 9у2 = 36.
92. Найти координаты вершин и фокусов гиперболы -4х2 + 36у2 = 144.
93. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и
горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (3,
27).
94. Дано уравнение кривой в декартовых координатах: (х2 + у2)2 = 4хy.
Написать это уравнение в полярных координатах.
95. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -1, 2)
перпендикулярно прямой = = .
96. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, -1, 2)
параллельно плоскости

2x + 3y – 5z + 4 = 0.
97. Будут ли данные плоскости 2x - 3y – z + 4 = 0 и -4x + 6y + 2z + 1 = 0
параллельны?
98. Будут ли данные плоскости 3x + 4y – 5z + 3 = 0 и x + 3y + 3z - 2 = 0
перпендикулярны??
99. Даны плоскость 2x - 3y + 4z + 3 = 0 и прямая .

Будут ли они перпендикулярны или параллельны и почему?
100. Найти производную f(x) =.
101. Найти производную f(x) =.
102. Найти производную f(x) =.
103. Найти наклонную асимптоту графика f(x) =.
104. Вычислить определенный интеграл .
105. Вычислить определенный интеграл .
106. Вычислить неопределенный интеграл .
107. Вычислить неопределенный интеграл .
108. Вычислить неопределенный интеграл .
109. Вычислить неопределенный интеграл .
110. Вычислить неопределенный интеграл .
111. Вычислить неопределенный интеграл .
112. Найти производную: f(x) =.
113. Найти производную: f(x) =.
114. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y =.
115. Найти интервалы монотонности функции f(х) = 2х3 + 3х2 –36х -2.
116. Найти точки экстремума функции f(х) = 2х3 + 3х2 –36х -1.
117. Найти точки перегиба функции f(х) = х4 + 2х3 +х + 5.
118. На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки.
Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1,
0.2.

какова вероятность того, что костюм будет бракованным?
119. На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки.
Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1,
0.2.

какова вероятность того, что костюм будет качественным?
120. На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки.
Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1,
0.2.

какова вероятность того, что качественной окажется хотя бы одна из
комплектующих?
121. На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки.
Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1,
0.2.

какова вероятность того, что бракованным костюм окажется из-за
поступивших ниток?
122. В ресторан приходит 60 клиентов в час. Какова вероятность того, что в
данную минуту зайдет 3 клиента?
123. В книге 300 страниц. Вероятность появления ошибки на каждой странице
0.01. Какова вероятность того, что на трех страницах будут ошибки?
124. Фирма продает в среднем 4 квартиры в день и считает день удачным, если
продаст не менее 5 квартир. Какова вероятность того, что 1) день
окажется удачным; 2) день окажется неудачным?
125. На фабрике работает 500 человек. Вероятность опоздания на работу
сотрудника равна 0.01. Какова вероятность того, что в понедельник
опоздает не более 3 человек?
126. В магизин поступают лампочки 3-х заводов, причем, продукция первого
завода составляет 30%, второго - 45%, третьего - 25%. Известно также,
что средний процент бракованных лампочек для первого завода равен 2%,
для второго - 3%, для третьего - 4%. Чему равна вероятность того, что
купленная в магазине лампочка произведена на втором заводе, если она
оказалась бракованной?
127. Плотность рапределения случайной величины Y такова: f(x) = 0 при x ‹ 2
и x › 5,

f(x) = при x?[2, 5]. Найти MY и вероятность того, что случайная
величина Y больше 3.
128. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение
выпавших очков окажется равным 20.
129. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти
вероятность того, что оба шара окажутся черными.
130. В колоде 36 карт. Наугад вынимают две карты. Найти вероятность того,
что вынутыми окажутся две дамы.
131. Шифр замка состоит из 3 цифр. Какова вероятность открыть замок с
первого раза, набрав правильную комбинацию?
132. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти MX, М (1-Х), DX, D(1-x).
133. В колоде 36 карт. Наугад вынимают три карты. Какова вероятность того,
что вынутыми окажутся 2 короля и 1 туз?
134. В урне 4 красных и 6 черных шаров. Наугад вынули 2 шара. Какова
вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета?
135. Интервалы между поездами метро 6 минут. Какова вероятность того, что
спустившись в метро в случайный момент времени придется ждать поезда
меньше 3 минут? Не меньше 2 минут и не больше 5 минут?
136. Чему равна вероятность того, что при 3-х подбрасываниях игральной
кости 2 раза выпадет 6?
137. Стрелок поражает мишень в среднем в 8-ми выстрелах из 10-ти. Какова
вероятность того, что из 4-х выстрелов 2 попадут по мишени?
138. Для нормальной величины X ~ N(5, 4). Найти M(3x+ 2) и D(3x + 2).
139. Вероятности успешной сдачи экзаменов по четырем предметам у данного
студента соответственно равны: 0.6, 0.7, 0.8, 0.7. Какова вероятность
того, что он успешно сдаст: 1) все экзамены; 2) хотя бы один экзамен?
140. Воспользовавшись правилом «трех сигм» построить 99% интервал для N(2,
3).
141. Случайная величина задана рядом распределений:

Найти P3 и M(2 – 3x).

1 2 3 4 5 6