Экзаменационные билеты по математике .

примерный перечень экзаменационных вопросов
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

1. Что называется функцией нескольких переменных? Определите поверхности
уровня функции трех переменных.
2. Что называют областью на плоскости, граничной точкой области,
ограниченной замкнутой областью?
3. Сформулировать теорему о свойствах функции, непрерывной в ограниченной
замкнутой области.
4. Дать определение предела функции в точке, непрерывности функции в
точке и точки разрыва функции.
5. Что называется частной производной? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
6. Что называется полным дифференциалом функции? Каков его геометрический
смысл?
7. Что называется производной по направлению, и что она характеризует?
Что является графиком функции?
8. Дать определения точек максимума и минимума функции двух переменных,
стационарных точек. Сформулировать достаточное условие экстремумов.
9. Дать определение двойного интеграла.
10. Что называется дифференциальным уравнением? Что называется разностным
уравнением?
11. Что называют общим решением дифференциального уравнения первого или
второго порядков? Какое решение называется частным?
12. Сформулировать задачу Коши для дифференциальных уравнений первого и
второго порядков.
13. Сформулировать теорему существования и единственности для
дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
14. Каков общий вид дифференциального уравнения первого порядка? Что
называется линейным разностным уравнением первого порядка?
15. Дать определение линейного однородного и линейного неоднородного
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами. Какую структуру имеют их общие решения? Какое
уравнение называют характеристическим?
16. Что называют линейным однородным и линейным неоднородным разностными
уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами? Какую
структуру имеют их общие решения?
17. Найти область определения функции .
18. Найти полный дифференциал функции в точке .
19. Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции
.
20. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .
21. Найти градиент функции в точке .
22. Найти полный дифференциал функции в точке .
23. Найти градиент функции в точке .
24. Найти производную по направлению функции в точке в
направлении, идущем от этой точки к точке .
25. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми
, , .
26. Исследовать на максимум и минимум функцию .
27. Исследовать на максимум и минимум функцию , x › 0, y › 0.
28. Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее
начальному условию .
29. Найти частное решение линейного неоднородного разностного уравнения
, , .
30. Найти общее решение .
31. Найти общее решение .
32. Найти общее решение .
33. Найти общее решение .
34. Найти общее решение .
35. Найти общее решение.

1 Дать определение прямоугольной, транспортированной, симметричной и
единичной матриц.

2 Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.

36. Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число,
умножение матриц.
37. Дать определение ранга матрицы.
38. Элементарные преобразования над строками матрицы.
39. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).
40. Дать определение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными.
Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений. Какую
матрицу называют матрицей системы уравнений? Какая матрица называется
расширенной матрицей системы? Как записываются вектор неизвестных и
вектор правых частей уравнений?
41. Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что
называется решением системы уравнений?
42. Какие системы называются эквивалентными? Меняют ли элементарные
преобразования над системой уравнений ее решение?
43. Однородные системы уравнений. Основные свойства. Решение однородной
системы методом Гаусса. Какие однородные системы имеют единственное
решение? Пример. При решении однородной системы, какие переменные
называют свободными, а какие - несвободными? Чему равно число
свободных переменных?
44. В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?
45. Какое решение системы называют общим, а какое частным. Пример.
46. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий
совместности неоднородной системы уравнений.
47. В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное
решение? Пример.
48. Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.
49. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие
определителя, применительно к матрице второго порядка. Пример.
50. Понятие определителя, применительно к матрице третьего порядка. Какую
величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример. Как
записывается формула разложения определителя по строке или столбцу?
Пример.
51. Основные свойства определителя.
52. Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя
строки матрицы являются зависимыми, а при каком - независимыми?
53. Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной
матрицы.
54. Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.
55. Найти ранг матрицы .
56. Вычислить определитель матрицы det A, где , методом Гаусса.
57. Найти матрицу А-1, обратную к матрице А, и с ее помощью решить
систему: , где , , .
58. Найти общее решение однородной системы: .
59. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений:

.
60. В чем состоит метод сплошных наблюдений, применяемый в статистике? В
чем состоит выборочный метод, применяемый в статистике?
61. Какая случайная величина называется непрерывно распределенной
величиной? Что такое ее плотность распределения? Как связаны между
собой плотность вероятности f(x) и функция распределения F(x)? Чему
равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал
?
62. Как определяются математическое ожидание, дисперсия,
среднеквадратичное отклонение случайной величины? Какими свойствами
они обладают?
63. Чему равны математическое ожидание и дисперсия равномерного
распределения на отрезке , нормального распределения ?
64. В чем состоит правило трех ? (сигм)?
65. Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем
выборки? Какая выборка называется репрезентативной?
66. Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная
(эмпирическая) частота значения xi из вариационного ряда?
67. Что такое таблица статистического распределения выборки? Как по ней
строится полигон для дискретных вариационных рядов?
68. Как по таблице статистического распределения выборки строится
гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых
интервалов? В случае неодинаковых интервалов?
69. Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?
70. Что такое мода для дискретного вариационного ряда? Что такое медиана?
71. Какую сходимость к некоторому значению называют сходимостью по
вероятности?
72. Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных
оценок.
73. Какой метод получения оценок параметров называется методом моментов?
Приведите пример оценок, которые строятся с применением метода
моментов.
74. По каким формулам считаются 1-ый начальный и 1-ый центральный моменты
распределения?
75. По каким формулам считаются 1-ый начальный и 1-ый центральный
эмпирические моменты?
76. По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если в
выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается
эмпирическое среднее в случае, если задана таблица
статистического распределения выборки? Какая функция выборки задает
точечную оценку для неизвестного математического ожидания?
77. По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если в
выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается
эмпирическая дисперсия S2 в случае, если задана таблица
статистического распределения выборки?
78. Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной
дисперсии? Как исправить эмпирическую дисперсию S2, чтобы получить
несмещенную точечную оценку s2 для неизвестной дисперсии?
79. Что такое квантиль уровня p случайной величины ?, имеющей плотность
распределения f(x)?
80. Дать определение случайной величины xи-квадрат с n степенями свободы
(?2n). Дать определение случайной величины t n, подчиняющейся закону
Стьюдента с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться
вместо распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?
81. Какое распределение имеет эмпирическое среднее , если выборка
произведена из совокупности, имеющей распределение N(?, ?)? Какое
распределение имеет эмпирическая дисперсия S2, если выборка
произведена из совокупности, имеющей распределение N(?, ?)?
82. По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для
среднего значения ? нормального распределения в случае, когда
среднеквадратическое отклонение распределения ? известно? По какой
формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего
значения нормального распределения в случае, когда
среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно?
83. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда проверяется
статистическая гипотеза о том, что среднее значение генеральной
совокупности ?=?0 на уровне значимости ?, если генеральная дисперсия
неизвестна? Какое распределение она имеет? Если n › 20 и значение этой
статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости
равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная ?=?0 или
альтернативная ей?
84. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить
гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое
распределение она имеет? Если n › 20 и значение этой статистики,
вычисленное по выборке, равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05,
какая гипотеза должна быть принята: основная ?x=?y или альтернативная
ей?
85. Какая связь между величинами называется линейной статистической
связью?
86. Когда при изучении пары зависимых признаков применяется регрессионная
модель, а когда ковариационная?
87. По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции rxy?
88. Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (xi,
yi) прямая y = ax + b? Какова формула углового коэффициента и
свободного члена () МНК прямой? Есть ли связь между МНК прямой и
центром тяжести исходной системы точек?
89. Проверьте с ? = 0.05 гипотезу Н0: ? = 100 против ? ? 100, если по
выборке объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S2 = 4.
90. Какому закону подчиняется разность двух выборочных средних, если
случайные величины X и Y, для которых они находятся по выборкам объема
n и m соответственно, распределены одинаково и независимы: X, Y ~ N
(?‚?)?
91. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению
выборки:
|xi|1200 |1230 |1250 |1300 |
|yi|2 |5 |10 |3 |

Построить полигон и найти моду.
92. Постройте гистограмму, полигон и кумуляту распределения роста
студентов по таблице:
|Рост |154 |158 |162 |166 |170 |174 |178 |
| |-158 |-152 |-166 |-170 |–174 |-178 |-182 |
|Число |8 |12 |20 |30 |15 |10 |5 |
|студент| | | | | | | |
|ов | | | | | | | |

Постройте графически моду, найдите медиану.
93. Средняя прибыль палатки составляет 1 тыс. рублей в день. Как изменятся
средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение прибыли палатки при
росте всех цен в 3 раза, если объем продаж сохранится? А если объем
продаж при этом в 3 раза уменьшится?
94. Имеются 2 независимые случайные величины ? и ?; D(?) = 3, D(?) = 2.
Чему равна дисперсия величины 2? + +3?
95. Выборка из большой партии электроламп содержит 200 ламп. Средняя
продолжительность горения лампы оказалась равной 1000 ч. Найти с
надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности
? горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое
отклонение продолжительности горения лампы ? = 40 ч. Предполагается,
что продолжительность горения ламп распределена нормально.
96. По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n =15 и m = 20,
извлеченных из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Проходит ли
на уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при
альтернативной гипотезе Mx ? My? (Указание. При n ›20 распределение
Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением.)
97. Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 6-ти
учащихся по выборке:
|Рост |165 |172 |170 |168 |175 |180 |
|X | | | | | | |
|Вес Y|60 |70 |70 |68 |73 |75 |

98. Для нормальной случайной величины N(3,2) найдите вероятность того, что
x ›-1,
-1 ‹ x ‹ 7.
99. Чему равны размах и медианы выборок 3,-2,-1,5,0,-1,4 (n=7) и 2,-2,-
3,4,0,1,3,4 (n=8)?
100. Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 7 месяцев
оказались следующими:
|Месяц |Январь |Февраль|Март |Апрель |Май |Июнь |Июль |
|Прибыль|1002 |1020 |1040 |1056 |1072 |1075 |1080 |

С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам сроится
прямая. Какое
значение даст эта прямая для прибыли в апреле? (Указание. Для
получения этого
значения строить прямую не надо.)
101. Дана двумерная выборка (xi, yi): (1,0), (3,0), (1,0), (3,1), (3,0),
(1,5); для нее n = 6,
, , , . Найдите выборочный коэффициент
корреляции.

1 2 3 4 5 6