Аксиоматика векторного пространства .

Глава 2
1. Некоторые векторные равенства

Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных
соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения являются,
образно выражаясь, ключами к решению широкого класса задач.
I Основное соотношение. Во всяком треугольнике ЛВС выполняется
равенство
(I)
Где М – центроид (точка пересечения медиан) треугольника АВС.
Докажем соотношение (I).
Пусть М – центроид треугольника АВС. Соединим точку М со
всеми вершинами треугольника. Прямая МВ пересекает сторону АС
треугольника АВС в точке О, являющейся серединой стороны АС. На прямой ВМ
откладываем МЕ = ВМ и соединяем точку Е с вершинами А и С. очевидно, что
АМСЕ –параллелограмм. Поэтому . Откуда . Так как , то .
Ч.т.д.
Задача. Доказать, что если М – центроид треугольника АВС и О
-произвольная точка пространства, то выполняется равенство
(1)
Доказательство:
Запишем следующие векторные равенства:

Сложив эти равенства по частям, получаем:
,
откуда

Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным
соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач.
II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка
D так, что АD : DС = m : n.
Тогда имеет месть следующее соотношение:
(II)
Доказательство:
Из треугольника АВС имеем:

.
Ч.т.д.
Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена прямая
АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF : FВ.
Решение.
Введем векторы и . Пусть СF : FВ = m : n. Тогда по формуле
(II) имеем:

и (1)
где 0 < х < 1.
С другой стороны, учитывая, что Е – середина медианы СС1 получаем для
АЕ следующее выражение:
(2)
В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и (2)
получаем систему:
(3)
Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе,
получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : FВ = 1 : 2.
Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что , т.е.
AE : EF = 3 : 4

III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD
соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то
выполняется равенство.
(III)
Доказательство:
Для доказательства равенства (III)

мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут
произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут
лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной
плоскости).
Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни
отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим
векторы и .
Имеем:
,
,

Ч. т. д.

Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три точки
P1, Q1, R1 причем , . Доказать, что середины отрезков PP1, QQ1 и
RR1 принадлежат одной прямой.
Решение.
Пусть М, N и К - середины отрезков РР1 QQ1 и RR1 соответственно.
На основании (III) запишем следующие векторные равенства:

(1)

(2)
Из (1) и (2) следует, что векторы и коллинеарные. А так
как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К
принадлежат одной прямой.
IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его грани ABC
точка М. Доказать, что для разложения

Выполняется равенство

Доказательство:
Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC. Проведем через
точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть Е делит
сторону ВС в отношении m : n, т.е.
BE : EC = m : n.
Тогда по формуле (II)

Пусть далее точка М делит отрезок АЕ в отношении p : q, т.е.
AM : ME = p:q. Тогда

.
Откуда

Ч. т. д.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13