Теоретическая физика: механика

План-конспект занятия

По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 13.12.2000

Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»

Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык
использования канонических преобразований. Научить осуществлять
преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых
переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

(1)
Скобки Пуассона: (2)
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при
которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования
производят с помощью производящей функции, которая является функцией
координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции
определяется следующим образом:
(3)
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем
соответствующий вид канонических преобразований.

Примеры решения задач

№9.6 [3] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде:
(1.1)
№9.7 [3] Показать, что для функции канонических переменных имеют
место соотношения:
(2.1)
№9.10 [3] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы
является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно
произвольного параллельного переноса системы в пространстве.
Решение:
По определению обобщенный импульс есть:
(3.1)
Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не
зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе
явной зависимости по времени:
(3.2)
Тогда следуя формуле (1):
(3.3)
При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки
этого тела преобразуются по закону:
(3.4)
При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны
изменение гамильтониана равно:
(3.5)
Где суммирование идет по всем частицам системы. Но поскольку при
параллельном переносе для каждой частицы , можем вынести его за знак
суммы. Принимая во внимание, что , получим:
(3.6)
С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место
соотношение вида:
(3.7)
Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем
совокупность этих соотношений в краткой форме:
(3.8)
Сопоставляя (3.8) и (3.6) находим:
(3.9)
Т.о. согласно (3.3):
(3.10)
Что означает, что импульс системы является интегралом движения.
№9.9 а) [3] Доказать, что скобки Пуассона .
(4.1)
Принимая во внимание, что , и что импульсы и координаты являются
независимыми переменными, получим:
(4.2)
По определению:
(4.3)
Проверяя равенство (4.2) для всех значений i, т.е. для поочередно
убеждаемся в тождественности последнего.

№10.14 а-1) [4] Вычислить скобки Пуассона .
В силу равенств (2.1):
(5.1)
Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров
(сам вектор является тензором I ранга):
, (5.2)
где – полностью антисимметричный тензор, причем
, (5.3)
остальные компоненты тензора равны нулю.
Подставляя формулу (5.2) в выражение (5.1), получим:
(5.4)
Посчитаем по полученной формуле (5.4), к примеру, :

№9.31 [3] Найти каноническое преобразование, соответствующее
производящей функции: .
Решение:
(6.1)
Поскольку производящая функция явно от времени не зависит, .
Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому
же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов.
Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и
импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать
координаты импульсами, а импульсы координатами (см. (6.1)). Ввиду этой
условности терминологии переменные p и q в формализме Гамильтона часто
называют канонически сопряженными величинами.
№9.37 [3] Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно
малом каноническом преобразовании с производящей функцией
,
где – интеграл движения.
Решение:
Запишем канонические преобразования:
(7.1)
(7.2)
Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического
преобразования есть
(7.3)
Из канонических уравнений (7.1) следует, что
(7.4)
(7.5)
Выражая из уравнения (7.1) и подставляя его в уравнение (7.5), с
точностью до членов первого порядка малости, получим:
(7.6)
Подставим (7.4) и (7.6) в выражение для изменения гамильтониана (7.3).
Получим:
(7.7)
По условию функция f является интегралом движения. А значит
(7.8)
С другой стороны
(7.9)
Подставляя в последнее выражение равенства (7.8), получаем:
(7.10)
Сопоставляя (7.7) и (7.10), делаем вывод, что изменение гамильтониана
, (7.11)
что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при
бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей
функцией.

Домашнее задание:

№9.8 [3] Показать, что функция является интегралом движения
свободной частицы в отсутствие внешних сил.
Решение:
Для свободной частицы:
(8.1)
Согласно (1):
(8.2)
№9.9 б) [3] Доказать, что скобки Пуассона .
№10.14 а) [4] Вычислить скобки Пуассона: , .
№9.32 [3] Показать, что производящая функция определяет
тождественное каноническое преобразование.

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.:
«Наука», 1969 г., - 272 с.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204
с.
3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по
теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике»,
- М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.:
«Наука», 1986 г., - 448 с.
6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник
задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319
с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

1 2 3 4