Теоретическая физика: механика

План-конспект занятия

По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 27.12.2000

Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»

Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении
задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и
могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует
выражение для импульса:
(1)
Из представления полной производной действия по времени следует
уравнение Гамильтона-Якоби:
(2)
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (2), находят
представление действия в виде полного интеграла, который является функцией
s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы).
Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде
производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным
образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
(3)
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде
лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант
меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными
условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь
одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (3) уравнения Г.-
Я. (2) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести
каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве
производящей функции.
Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые
координаты
(4)
тоже будут константы, поскольку
(5)
Выражая из уравнения (4) координаты в виде функций от , мы и
получим закон движения:
(6)
Решение задачи на нахождение зависимости (6) существенно упрощается в
случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата
может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не
связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими
уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических
переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к
следующему:
1. составить функцию Гамильтона;
2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные
разделяются;
3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла
;
4. Составить систему s уравнений, и получить закон движения
;
5. По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего
продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом
подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

Примеры решения задач

На прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона
движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки
в поле?
№9.22 [3] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном
гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также
траекторию и закон движения точки.
Решение:
1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в
декартовых координатах примет вид:
(1.1)
2. Соответственно уравнение Г.-Я.:
(1.2)
3. Все переменные в этом уравнении разделяются. Здесь . Разделение
переменных позволяет нам представить действие в виде суммы:
(1.3)
Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого
слагаемого в квадратных скобках уравнения (1.2). Слагаемое может меняться,
а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое
есть константа.

(1.4)
Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла
уравнения Г.-Я.:
(1.5)
Заметим, что в выражении полного интеграла (1.5) уже содержится три
константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже
однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в
действие только аддитивным образом и не играет существенной роли.
Соответственно функция не должна содержать более констант. Полученная
при интегрировании этой части действия константа будет выражаться через уже
имеющиеся три. Поэтому вид функции определим, подставив действие в
виде (1.5) в уравнение Г.-Я. (1.2):
(1.6)
Интегрирование последнего уравнения приводит к функции:
(1.7)
Окончательно полный интеграл:
(1.8)
4. Отсюда на основании теоремы Якоби:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы
является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения.
Далее найдем, что компоненты – сохраняются:
(1.12)
В частности, при нулевых значениях движение происходит по прямой
вдоль оси Oz.
Найдем также компоненту , как функцию координат:
(1.13)
№9.24 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и
закон его движения в квадратуре.
Решение:
1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями.
1) Записать вид функции Гамильтона в полярных координатах:
(2.1)
Но поскольку длина стержня мат. маятника – величина постоянная, то
, а функция Гамильтона примет вид:
(2.2)
2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона,
который будет совпадать с представлением (2.2). Предлагается учащимся
убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания.
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
(2.3)
3. И время t и координата ( – разделяются. Следовательно, полный
интеграл имеет вид:
(2.4)
Подставляя его в уравнение Г.-Я. (2.3) получим вид функции :
(2.5)
На основании теоремы Якоби найдем закон движения маятника:
(2.6)
или
(2.7)

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.:
«Наука», 1969 г., - 272 с.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204
с.
3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по
теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике»,
- М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.:
«Наука», 1986 г., - 448 с.
6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник
задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319
с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

1 2 3 4