Теоретическая физика: механика

План-конспект занятия

По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 06.12.2000

Тема: «Функция Гамильтона. Функция Рауса. Канонические уравнения»

Цели: Развить у учащихся навык решения задач на составление и
использование функции Гамильтона и функции Рауса. Сформировать понимание
взаимосвязи между функцией Гамильтона, Рауса и функцией Лагранжа. Закрепить
знание свойств функции Лагранжа. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Функция Гамильтона: (1)

Функция Рауса: (2)
Канонические уравнения: (3)

Схема составления функции Гамильтона

Как следует из определения функции Гамильтона (1) для составления самой
функции необходимо знать вид функции Лагранжа. Однако при подстановке
функции Лагранжа в явном виде в выражение (1) в правой части будут
присутствовать переменные . А мы знаем, что функция Гамильтона
зависит только от . Т.о. необходимо установить связь . Эту
зависимость нам дает определение обобщенных импульсов:

Итак, при решении задач на нахождение функции Гамильтона, когда вид
функции кин. энергии не известен, что является самым общим случаем,
вид функции Гамильтона необходимо искать опираясь на ее определение. Т.е.
через функцию Лагранжа. При этом нужно следовать следующей схеме:
1. Записать функцию Лагранжа, при возможности преобразовав ее к более
простому виду (это в частном случае подразумевает выбор новых
обобщенных координат).

2. Определить зависимость

3. Записать саму функцию Гамильтона

Примеры решения задач

№10.3 [4] Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора,
функция Лагранжа которого:
(1.1)
Решение:
(1.2)
(1.3)
Откуда
(1.4)
Подставляя полученное выражение в (1.2), имеем:
(1.5)
№49.8 [5] Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины
к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг
вертикали с постоянной угловой скоростью . Составить а) функцию
Гамильтона и б) канонические уравнения движения. Массу стержня не
учитывать.
Решение:

а) 1. Действуя согласно предлагаемой схеме составления функции
Гамильтона, определим функцию Лагранжа системы:
(2.1)
Где . Поскольку функция Лагранжа определена с точностью до
аддитивной константы, либо постоянного множителя, перепишем (2.1) в виде:
(2.2)
Согласно выбранной системе координат:
(2.3)
Учитывая, что – по условию, получим выражение для функции Лагранжа
с новой обобщенной координатой :

Или
(2.4)
2. Найдем зависимость обобщенной скорости от обобщенного импульса
системы. По определению обобщенных импульсов:
(2.5)
3. Следовательно, функция Гамильтона:
(2.6)
б) Используя формулы (3), найдем уравнения движения системы:
(2.7)
В частности, представляет интерес случай, когда , т.е. шарик
движется в горизонтальной плоскости, описывая окружность. Логично
предположить, что такое движение будет выполняться лишь при некотором
фиксированном угле , значение которого как-то зависит от параметров
системы. Найдем эту зависимость. Для этого заметим, что во втором уравнении
системы (2.7) левая часть будет равна нулю:
(2.8)
Откуда:
(2.9)
Первое уравнение дает тривиальное решение , что соответствует
просто провисанию шарика - материальной точки. Т.о. условие движения
маятника в плоскости есть:
(2.10)
Где – собственная частота колебаний маятника. Более того,
выражение (2.10) дает зависимость угла отклонения, обуславливающего
движение в плоскости, от частоты вращения вертикальной оси, и собственной
частоты маятника. Т.о., чтобы добиться устойчивого вращения в плоскости при
желаемом угле отклонения, необходимо подбирать отношение между собственной
частотой (которая определяется длинной стержня) и частотой вращения оси.
Заметим также, что значение угла в этом случае не зависит от массы
маятника. При значении частоты вращения вертикальной оси, превышающим
значение собственной частоты маятника, второе уравнение системы (2.9)
решений не имеет. Но работает первое уравнение, из которого . Т.е.
маятник будет провисать.

№9.5 [3] Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в
фазовом пространстве.
Решение:
Фазовым пространством называется такое 2s-мерное пространство, по осям
которого откладываются s импульсов и s координат. (s – число степеней
свободы). Изменение состояния системы соответствует непрерывной линии –
траектории движения системы в фазовом пространстве.
Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид:
(3.1)
Из закона сохранения энергии получим уравнение фазовой траектории
гармонического осциллятора:
(3.2)
Т.е. траекторией является эллипс.

№10.4 [4] Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой:
(4.1)
Решение:
Закон движения частицы дают функции:
, (4.2)
вид которых можно получить исходя из уравнений Гамильтона (3). Поделив 1-
ое уравнение на 2-ое получим:
,
откуда

Интегрируя, получим:

(4.3)
Выражая отсюда и приравнивая его к значению из уравнения
Гамильтона, получим:
, (4.4)
где
Или после интегрирования:
(4.5)
Подставляя полученную зависимость в выражение (4.3), получим:
(4.6)
Задача №1. Математический маятник массы т прикреплен к движущейся вдоль
горизонтальной прямой муфте, масса которой М. Определить функцию Рауса
системы.
Решение:
Составим функцию Лагранжа:
(5.1)
Где .
Координату х можно представить в виде суммы:
(5.2)
Где х1 – координата муфты (координата лабораторной системы отсчета), а
х2 – координата смещения шарика мат. маятника в системе отсчета муфты.
Из выражения (5.2) следует:
(5.3)
(5.4)
Имеем:
(5.5)
Заметим, что х1 – циклическая переменная.
Найдем обобщенный импульс :
(5.6)
Откуда:
(5.7)
Следовательно, по определению (2) функция Рауса с учетом выражения
(5.6):
(5.8)
Подставляя в последнее выражение зависимость (5.7), окончательно
получим:
(5.9)
Запишем уравнение связи импульса с функцией Рауса:
(5.10)
Но поскольку х1 не входит в функцию Рауса явно, то правая часть
записанного равенства есть ноль. Т.е. импульс в процессе движения остается
постоянным. Следовательно, функция Рауса фактически зависит только от 2-х
независимых переменных: .
Задача №2. Определить функцию Рауса симметричного волчка в поле .
Решение:
Используем известное нам значение функции Лагранжа для симметричного
волчка:
(6.1)
По определению обобщенных импульсов:
(6.2)
Откуда
(6.3)
Следовательно, по определению (2) функция Рауса с учетом выражения
(6.3):
(6.4)

Домашнее задание:

Задача№1. Исходя из функции Гамильтона для гармонического осциллятора,
получить закон движения гармонического осциллятора.
№49.7 [5]
№10.5 [4] Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона которой:
.
Указание: получить .

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.:
«Наука», 1969 г., - 272 с.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204
с.
3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по
теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике»,
- М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.:
«Наука», 1986 г., - 448 с.
6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник
задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319
с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

-----------------------
(

(

1 2 3 4