На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Физике"
Лекции по ТОЭ
| Теория / ТОЭ / Лекция N 11. Особенности составления матричных уравнений при |
|наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками. |
| Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией |
|Как было показано ранее (см. лекцию N 6 ), для схем, не содержащих индуктивно связанные |
|элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все |
|их элементы, за исключением стоящих на главной диагонали, равны нулю. |
|В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей |
|имеет вид |
|Z . |
| |
|Здесь элементы главной диагонали , ,… - комплексные сопротивления ветвей |
|схемы; элементы вне главной диагонали - комплексные сопротивления индуктивной |
|связи i- й и k – й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей |
|относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак “-”). |
|Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно |
|Y = Z –1 . |
|Зная матрицы и Y , можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в |
|матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно |
|связанными элементами. |
|Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом |
|случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице Z целесообразно придать|
|квазидиагональную форму |
|Z , |
| |
|что облегчает ее обращение, поскольку |
|Y , |
| |
|где подматрицы могут быть квадратными диагональными или недиагональными. |
|В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен |
|на рис. 1,б. |
| |
|Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей |
| |
| |
|Z . |
| |
|В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим |
| |
|Z-111 |
|; |
| |
| |
|Z-122 |
|; |
| |
| |
|Z-133 |
| . |
| |
|Таким образом, матрица проводимостей ветвей |
|Y . |
| |
|Отметим, что при принятой ориентации ветвей и . |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные |
|уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а. |
| |
| |
|Решение |
|1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,б), выделив в нем дерево, образованное |
|ветвью 3. |
|Тогда матрица главных контуров имеет вид |
|В . |
|2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации |
|Z . |
|3. Определим матрицу контурных сопротивлений |
|Zk=BZBT |
| |
| |
|4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС |
| |
|. |
|5. Подставив найденные выражения в , окончательно получим |
|. |
| |
|Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками |
|В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При |
|записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят |
|каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму|
|закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, |
|то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут |
|соответствовать диагональные элементы . Поэтому при наличии таких ветвей исходная |
|схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему |
|преобразованию, иллюстрируемому рис. 3. |
| |
| |
| |
|Здесь идеальный источник тока (см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. |
|Подключение к узлам l и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных |
|источника тока (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на |
|эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б. |
|Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому |
|закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место|
|ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им |
|диагональные элементы матрицы Y будут равны . Поэтому при наличии таких ветвей |
|исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, |
|поясняемому рис. 4. |
|Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС |
|. Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом n, источника с ЭДС, равной , |
|и направлением действия, указанным на рис. 4,б, позволяет (в силу того, что ) |
|трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. |
|–5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов.|
|–7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|В чем отличие матриц сопротивлений и проводимостей ветвей для цепей с отсутствием и |
|наличием индуктивных связей? |
|В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей? |
|Какие особенности имеют место при составлении матричных соотношений для цепей, |
|содержащих ветви с идеальными источниками? |
|В цепи на рис. 5 ; ; ; ; ; . Приняв, что дерево образовано|
|ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей. |
| |
|Ответ: |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|. |
| |
|Для цепи на рис.5 составить узловые уравнения в матричной форме, на основании которых |
|затем определить токи ветвей. |
|Ответ: |
|; |
|. |
| |
| |
| |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных |
|цепей. |
|Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется |
|целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен |
|осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или |
|узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных |
|электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более |
|экономично. |
| |
|Метод наложения |
| |
|Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно |
|эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов |
|источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. |
|Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется |
|следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической|
|сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности. |
|Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников |
|тока, выражается соотношением |
|. |
|(1) |
| |
|Здесь - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению |
|тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс |
|взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й |
|ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. |
|Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, |
|используя их указанную смысловую трактовку, при этом , что непосредственно |
|вытекает из свойства взаимности (см. ниже). |
|Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от |
|проводимостей являются величинами безразмерными. |
|Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.|
| |
|Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно |
|любого контурного тока, например , то получим |
|, |
|(2) |
| |
|где - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; |
| - алгебраическое дополнение определителя . |
|Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го |
|контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в |
|соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для |
|контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных |
|каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда |
|можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один -й контур,|
|т.е. контурный ток будет равен действительному току h-й ветви, то принцип|
|наложения справедлив для токов любых ветвей и, следовательно, справедливость |
|принципа наложения доказана. |
|Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует |
|поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними |
|сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого |
|полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые |
|токи в ветвях исходной цепи. |
|В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы|
|на рис. 1,а. |
| |
|Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального |
|источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – |
|бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на |
| рис. 1,б…1,г. |
|В этих цепях |
|; ; , |
|где ; ; . |
|Таким образом, |
|. |
|В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости |
| и в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и|
|второй ветвях соответственно равны и , а при переводе в положение 2 - |
| и . |
|Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников |
|энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно |
|записать |
|; |
|(3) |
| |
| |
|. |
|(4) |
| |
|При переводе ключа в положение “2” имеем |
|; |
|(5) |
| |
| |
|.. |
|(6) |
| |
|Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим |
|; |
|, |
|откуда искомые проводимости |
|; . |
| |
|Принцип взаимности |
|Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без |
|доказательства: для линейной цепи ток в k – й ветви, вызванной единственной в |
|схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви, |
| |
|будет равен току в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС |
|, находящейся в k – й ветви, |
|. |
|Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение . |
|Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС |
|, действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в |
|другой ветви ток (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в|
|первой ветви такой же ток (см. рис. 3,б). |
| |
|В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в |
|которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС . |
| |
|Перенесение источника ЭДС в диагональ моста, где требуется найти ток, |
|трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на |
|рис. 4,б. В этой цепи |
|, |
|(7) |
| |
| |
|где . |
|В соответствии с принципом взаимности ток в цепи на рис. 4,а равен току, |
|определяемому соотношением (7) |
|. |
|Линейные соотношения в линейных электрических цепях |
|При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или |
|сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между |
|собой соотношением |
|, |
|(8) |
| |
|где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы. |
|Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС в k – й ветви для тока в|
|m – й ветви можно записать |
| |
|(9) |
| |
|и для тока в n – й ветви – |
|. |
|(10) |
| |
|Здесь и - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, |
|обусловленные всеми остальными источниками, кроме . |
|Умножив левую и правую части (10) на , вычтем полученное соотношением из |
|уравнения (9). В результате получим |
|. |
|(11) |
| |
|Обозначив в (11) и , приходим к соотношению (8). |
|Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное |
|соотношение для напряжений в линейной цепи. |
|В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами и в |
|схеме с переменным резистором на рис. 5, где ; ; . |
|Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, |
|соответствующие двум произвольным значениям . |
|Выбрав в качестве этих значений и , для первого случая ( ) запишем |
|. |
|Таким образом, . |
|При (режим короткого замыкания) |
|, |
|откуда |
|. |
|На основании (8) |
|. |
|Таким образом, |
|. |
| |
|Принцип компенсации |
|Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой |
|электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви|
|можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом |
|сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви. |
|Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением |
|, по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим |
|некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а). |
| |
|При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу |
|источников ЭДС с (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи |
|. |
|(12) |
| |
|Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи |
|на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана. |
|В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с |
|известным током можно заменить источником тока . |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |
|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. |
|–448 с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Для каких цепей применим принцип суперпозиции? |
|В каких случаях эффективно применение метода наложения? |
|Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей? |
|Докажите теорему взаимности. |
|Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи? |
|Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь? |
|Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а. |
|Ответ: , где ; . |
|В цепи на рис. 2 . Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись |
|линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения. |
|Ответ: ; |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 13. Метод эквивалентного генератора. |
|Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике |
|(называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто |
|определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной |
|схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно |
|эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных |
|значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, |
|а также ЭДС и токи источников постоянны. |
|Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную |
|цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной |
|напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному |
|сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится. |
|Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1. |
| |
|Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь |
|обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками |
|1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь |
|между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. |
|1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в|
|сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще |
|один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь |
|искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из |
|которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и |
|источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником|
|ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих |
|в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй |
|составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен |
|пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана. |
|Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие |
|параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, |
|откуда и произошло название этого метода. |
|Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно |
|ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со |
|структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б.|
| |
|Отсюда ток находится, как: |
|, |
|(1) |
| |
|где - напряжение на разомкнутых зажимах a-b. |
|Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного |
|генератора. |
|Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены |
|экспериментальным или теоретическим путями. |
|В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного |
|двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое |
|и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью |
|амперметра, который показывает ток (см. рис. 2,б). Тогда на основании |
|результатов измерений . |
|В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при |
|синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения |
| и . |
|При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет |
|осуществляется в два этапа: |
|1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют |
|напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви. |
|2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного |
|двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем |
|устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при |
|сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных |
|источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех |
|ветвей с источниками тока. |
|Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) |
|сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный |
|двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б |
| |
|. |
|В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа |
|определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении |
|сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры |
|цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом. |
| |
|В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного |
|двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где |
|напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной |
|цепи |
|. |
|Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в |
|схему на рис. 6. |
| |
|Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно: |
|. |
|Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно |
|записать |
|. |
|(2) |
| |
|Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на |
|рис.7. |
|В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи |
|при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления |
| в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет|
|равна. |
|Параметры цепи: ; . |
|В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 |
|часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами |
| |
|В соответствии с (1) для тока через можно записать |
| |
|откуда для модуля этого тока имеем |
|. (3) |
|Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность |
|будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка|
| имеет емкостный характер. |
|Таким образом, |
| и . |
|Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для|
|которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме |
|согласованной нагрузки, условие которого . |
|Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: . |
| |
|Теорема вариаций |
|Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько |
|изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы |
|изменилось сопротивление. |
|Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы |
|обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости и |
| известны. |
| |
|Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях |
|схемы будут соответственно равны и (рис. 9,б). На основании принципа |
|компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом |
|наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на |
|рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П. |
|Для этой цепи можно записать |
| |
|откуда |
| и . |
|Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, |
|вызванные изменением сопротивления в n-й ветви. |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора? |
|Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора? |
|Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем? |
|Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его |
|входного сопротивления? |
|В каких задачах используется теорема вариаций? |
|В цепи на рис. 4 источник ЭДС Е замене на источник тока J=10 А. Определить показание |
|амперметра, если R=0. |
|Ответ: . |
|Для полученного значения в цепи на рис. 8 методом эквивалентного генератора |
|определить ток в ветви с этим сопротивлением, если катушка индуктивности в структуре |
|активного двухполюсника заменена на конденсатор с сопротивлением . |
|Ответ: |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 14. Пассивные четырехполюсники. |
|При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными |
|(токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко |
|используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной|
|конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно |
|называемые входными и выходными. |
|Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия |
|электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две |
|пары полюсов. |
|В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых |
|входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии. |
|Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников. |
|Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с |
|единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением |
| (см. рис. 1,а). |
| |
|В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление |
| источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода |
|наложения для цепи на рис. 1,б можно записать |
|; |
|(1) |
| |
| |
|. |
|(2) |
| |
|Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных |
|зажимах, получим |
|; |
| |
|или |
|; |
|(3) |
| |
| |
|, |
|(4) |
| |
|где ; ; ; - коэффициенты четырехполюсника. |
|Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты |
|четырехполюсника связаны между собой соотношением |
|. |
|(5) |
| |
|Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также |
|называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, |
|существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, |
|четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами |
| и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число |
|сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений |
|пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления |
|токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той|
|или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи. |
| |
|Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника |
|Форма |
|Уравнения |
|Связь с коэффициентами основных уравнений |
| |
|А-форма |
|; |
|; |
| |
| |
|Y-форма |
|; |
|; |
|; ; ; ; |
| |
|Z-форма |
|; |
|; |
|; ; |
|; ; |
| |
|Н-форма |
|; |
|; |
|; ; |
|; ; |
| |
|G-форма |
|; |
|; |
|; ; |
|; ; |
| |
|B-форма |
|; |
|. |
|; ; |
|; . |
| |
|Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой|
|четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. |
|1, это выполняется при . |
|Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. |
|При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей |
|необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть|
|определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с |
|соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и |
|четвертый. |
|Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов |
|четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании |
|со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных |
|зажимов. В этом случае при на основании уравнений (3) и (4) |
|. |
|(6) |
| |
|При |
| |
|(7) |
| |
|и при |
|. |
|(8) |
| |
|Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает: |
| |
|При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны |
|схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, |
|пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными |
|коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде |
|трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения.|
| |
|Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием|
|первого и второго законов Кирхгофа выразим и через и : |
| |
| |
|; |
|(9) |
| |
| |
|. |
|(10) |
| |
|Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает: |
| |
|Данная задача может быть решена и другим путем. При (холостой ход со стороны |
|вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4) |
| и ; |
|но из схемы на рис. 3,а |
|, а ; |
|откуда вытекает: и . |
|При (короткое замыкание на вторичных зажимах) |
| и . |
|Из схемы на рис. 3,а |
|; |
|. |
|Следовательно, . |
|Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае. |
|Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично |
|или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее|
|формул преобразования “ звезда-треугольник”. |
|Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда|
|можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения. |
|На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений |
|четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить |
|коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить|
|какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить |
|их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе|
|от А- к Z-форме на основании (4) имеем |
|. |
|(11) |
| |
|Подстановка соотношения (11) в (3) дает |
|. |
|(12) |
| |
|Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл.|
|1), получим |
|. |
|При анализе работы четырехполюсника на нагрузку удобно использовать понятие |
|входного сопротивления с первичной стороны и коэффициента передачи |
|.Учитывая, что и , для этих параметров можно записать: |
| |
|Зная , и , можно определить остальные переменные на входе и выходе |
|четырехполюсника: ; ; . |
| |
|Характеристическое сопротивление и коэффициент |
|распространения симметричного четырехполюсника |
|В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при |
|котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е. |
|. |
|Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлением |
|симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого |
|справедливо |
|, |
|называется режимом согласованной нагрузки. |
|В указанном режиме для симметричного четырехполюсника на основании (3) и (4) |
|можно записать |
|; |
|(13) |
| |
| |
|. |
|(14) |
| |
|Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение |
|, |
|решением которого является |
|. |
|(15) |
| |
|С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид |
|; |
|. |
|Таким образом, |
|, |
|где - коэффициент распространения; - коэффициент затухания (измеряется в |
|неперах); - коэффициент фазы (измеряется в радианах). |
|Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по |
|мощности, поскольку для рассматриваемого случая в е2 раз. |
|Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента |
|распространения. |
|По определению |
|. |
|(16) |
| |
| |
|Тогда |
|. |
|(17) |
| |
|Решая (17) и (18) относительно и , получим |
| и . |
|Учитывая, что |
| |
|и |
| , |
|получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции: |
| |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Каплянский А. Е. и др. Электрические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |
|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. -М.: Высш. шк., 1972. |
|-448с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Для решения каких задач применяется теория четырехполюсников? |
|Сколько коэффициентов четырехполюсника являются независимыми? |
|Какой четырехполюсник называется симметричным? |
|Как можно определить коэффициенты четырехполюсника? |
|Как определяются коэффициенты одной формы записи уравнений четырехполюсника через |
|коэффициенты другой? |
|Что определяет коэффициент распространения? |
|Определить связь коэффициентов Y-, H- и G-форм с коэффициентами А-формы. |
|Определить коэффициенты А, В, С и D для П-образной схемы замещения четырехполюсника |
|на рис. 3,б. |
|Ответ: ; ; ; . |
|Коэффициенты уравнений пассивного четырехполюсника ; ; |
|Определить параметры Т-образной схемы замещения. |
|Ответ: ; ; . |
|Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника: ; . |
|Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника |
|будет равно нагрузочному сопротивлению. |
|Ответ: |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 15. Электрические фильтры. |
|Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником |
|питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) |
|пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) |
|токов других частот. |
|Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется|
|полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим|
|затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра |
|считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее |
|возрастает затухание в полосе задерживания. |
|В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек |
|индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, |
|используемых при больших сопротивлениях нагрузки. |
|Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи |
|достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике. |
|Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек |
|индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными |
|сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких |
|частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных |
|сопротивлений ( ), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их |
|активных проводимостей ( ). |
|Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными |
|режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной |
|Т- или П-образной схеме, т.е. при или (см. лекцию №14). В этой связи при |
|изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия |
|коэффициентов затухания и фазы. |
|Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в |
|табл. 1. |
| |
|Таблица 1. Классификация фильтров |
|Название фильтра |
|Диапазон пропускаемых частот |
| |
|Низкочастотный фильтр (фильтр нижних частот) |
| |
| |
|Высокочастотный фильтр (фильтр верхних частот) |
| |
| |
|Полосовой фильтр (полосно-пропускающий фильтр) |
| |
| |
|Режекторный фильтр (полосно-задерживающий фильтр) |
| |
|и |
| , |
| |
|где |
| |
|В соответствии с материалом, изложенным в предыдущей лекции, если фильтр имеет |
|нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то |
|напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением |
|. . |
|(1) |
| |
|В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности) , т.е. в соответствии с |
|(1) , и . Следовательно, справедливо и равенство , которое |
|указывает на отсутствие потерь в идеальном фильтре, а значит, идеальный фильтр должен|
|быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Вне |
|области пропускания (в полосе затухания) в идеальном случае , т.е. и |
|. |
|Рассмотрим схему простейшего низкочастотного фильтра, представленную на рис. 1,а. |
| |
|Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т-образной схемы |
|замещения определяется соотношениями (см. лекцию № 14) |
| |
|или конкретно для фильтра на рис. 1,а |
|; |
|(2) |
| |
| |
|; |
|(3) |
| |
| |
|. |
|(4) |
| |
| |
|Из уравнений четырехполюсника, записанных с использованием гиперболических функций |
|(см. лекцию № 14), вытекает, что |
|. |
|Однако в соответствии с (2) - вещественная переменная, а следовательно, |
|. |
|(5) |
| |
|Поскольку в полосе пропускания частот коэффициент затухания , то на основании |
|(5) |
|. |
|Так как пределы изменения : , - то границы полосы пропускания определяются |
|неравенством |
|, |
|которому удовлетворяют частоты, лежащие в диапазоне |
|. |
|(6) |
| |
|Для характеристического сопротивления фильтра на основании (3) и (4) имеем |
|. |
|(7) |
| |
|Анализ соотношения (7) показывает, что с ростом частоты w в пределах, определяемых |
|неравенством (6), характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, |
|оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным |
|характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, |
|вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в |
|режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших , как это |
|следует из (7), характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер. |
|На рис. 2 приведены качественные зависимости и . |
|Следует отметить, что вне полосы пропускания . Действительно, поскольку |
|коэффициент А – вещественный, то всегда должно удовлетворяться равенство |
| |
| |
|. |
|(8) |
| |
|Так как вне полосы прозрачности , то соотношение (8) может выполняться только |
|при . |
|В полосе задерживания коэффициент затухания определяется из уравнения (5) при |
|. Существенным при этом является факт постепенного нарастания , т.е. в |
|полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный вывод о неидеальности |
|реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить |
|практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности |
|невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания будет |
|отличен от нуля. |
|Другим вариантом простейшего низкочастотного фильтра может служить четырехполюсник по|
|схеме на рис. 1,б. |
|Схема простейшего высокочастотного фильтра приведена на рис. 3,а. |
| |
|Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями |
|; |
|(9) |
| |
| |
|; |
|(10) |
| |
| |
|. |
|(11) |
| |
|Как и для рассмотренного выше случая, А – вещественная переменная. Поэтому на |
|основании (9) |
|. |
|Данному неравенству удовлетворяет диапазон изменения частот |
|. |
|(12) |
| |
|Характеристическое сопротивление фильтра |
|, |
|(13) |
| |
| |
|изменяясь в пределах от нуля до с ростом частоты, остается вещественным. Это |
|соответствует, как уже отмечалось, работе фильтра, нагруженного характеристическим |
|сопротивлением, в резонансном режиме. Поскольку такое согласование фильтра с |
|нагрузкой во всей полосе пропускания практически невозможно, реально фильтр работает |
|с в ограниченном диапазоне частот. |
|Вне области пропускания частот определяется из уравнения |
| |
|(14) |
| |
|при . Плавное изменение коэффициента затухания в соответствии с (14) показывает,|
|что в полосе задерживания фильтр не является идеальным. |
|Качественный вид зависимостей и для низкочастотного фильтра представлен |
|на рис. 4. |
|Следует отметить, что другим примером простейшего высокочастотного фильтра может |
|служить П-образный четырехполюсник на рис. 3,б. |
|Полосовой фильтр формально получается путем последовательного соединения |
|низкочастотного фильтра с полосой пропускания и высокочастотного с полосой |
|пропускания , причем . Схема простейшего полосового фильтра |
| |
|приведена на рис. 5,а, а на рис. 5,б представлены качественные зависимости для |
|него. |
|У режекторного фильтра полоса прозрачности разделена на две части полосой затухания. |
|Схема простейшего режекторного фильтра и качественные зависимости для него |
|приведены на рис.6. |
| |
|В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов|
|их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадно |
|включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n |
|звеньев схемы коэффициент затухания такого фильтра возрастает в соответствии с |
|выражением , что приближает фильтр к идеальному. |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Каплянский А. Е. и др. Электрические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |
|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. -М.: Высш. шк., 1972. |
|-448с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Для чего служат фильтры? |
|Что такое полосы прозрачности и затухания? |
|Как классифицируются фильтры в зависимости от диапазона пропускаемых частот? |
|В каком режиме работают фильтры в полосе пропускания частот? |
|Почему рассмотренные фильтры нельзя считать идеальными? |
|Как можно улучшить характеристики фильтра? |
|Определить границы полосы прозрачности фильтров на рис. 1,а и 3,а, если L=10 |
|мГн, а С=10 мкФ. |
|Ответ: , |
1 2 3 4 5
