На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Физике"
Лекции по ТОЭ
| Теория / ТОЭ / Лекция N 6. Основы матричных методов расчета электрических цепей. |
|Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам |
|Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально |
|рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее |
|топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование |
|матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений |
|электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно |
|существенно при расчете сложных разветвленных схем. |
|Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме. |
|Пусть имеем схему по рис. 1, где - источник тока. В соответствии с |
|рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно |
|записать: |
| |
| |
|. |
|(1) |
| |
| |
|Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов |
| k-й ветви и источника тока, т.е.: |
|. |
|(2) |
| |
| |
|Подставив (2) в (1), получим: |
|. |
|(3) |
| |
| |
|Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с |
|источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви). |
|Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства |
| |
|или |
|, |
|(4) |
| |
| |
|где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, |
|все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов |
|главной диагонали, равны нулю. |
|Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома. |
|Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и |
|учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому |
|, |
|(5) |
| |
| |
|то |
|, |
|(6) |
| |
| |
|то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа. |
| |
|Метод контурных токов в матричной форме |
|В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой |
|для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, |
|которые и будут равны искомым контурным токам. |
|Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их |
|число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей|
|связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом: |
|. |
|(7) |
| |
| |
|В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как |
|линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. |
|Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные |
|токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные |
|токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного |
|соотношения |
|, |
|(8) |
| |
| |
|где - столбцовая матрица контурных токов; - транспонированная контурная |
|матрица. |
|С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как: |
| |
|(9) |
| |
| |
|Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если |
|обозначить |
|, |
|(10) |
| |
| |
|. |
|(11) |
| |
| |
|то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов: |
|, |
|(12) |
| |
| |
|где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС. |
|В развернутой форме (12) можно записать, как: |
| , |
|(13) |
| |
| |
|то есть получили известный из метода контурных токов результат. |
|Рассмотрим пример составления контурных уравнений. |
|Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных |
|ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи, |
|c=n-m+1=6-4+1=3. |
|Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3. |
|Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку|
|каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода |
|контуров направления ветвей связи, получим: |
|В |
| |
| |
| |
|.Диагональная матрица сопротивлений ветвей |
|Z |
| |
| |
| |
| |
|Матрица контурных сопротивлений |
|Zk=BZBT |
| |
| |
| |
| |
|. |
|Матрицы ЭДС и токов источников |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|Тогда матрица контурных ЭДС |
| |
| |
| |
| |
|. |
|Матрица контурных токов |
| |
|. |
| |
|Таким образом, окончательно получаем: |
|, |
|где ; ; ; ; ; ; ; ; . |
|Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые |
|можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам |
|составления уравнений по методу контурных токов. |
| |
|Метод узловых потенциалов в матричной форме |
|На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было |
|указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение: |
|, |
|(14) |
| |
| |
|где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за |
|исключением элементов главной диагонали, равны нулю. |
|Матрицы Z и Y взаимно обратны. |
|Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон |
|Кирхгофа, согласно которому |
|, |
|(15) |
| |
| получим: |
|. . |
|(16) |
| |
|Выражение (16) перепишем, как: |
|. |
|(17) |
| |
| |
|Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, |
|определим напряжения на зажимах ветвей: |
|. |
|(18) |
| |
|Тогда получаем матричное уравнение вида: |
|. |
|(19) |
| |
|Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если |
|обозначить |
| |
|(20) |
| |
| |
|, |
|(21) |
| |
|то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых |
|потенциалов: |
| |
|(22) |
| |
| |
|где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов. |
|В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как: |
| |
|(23) |
| |
|то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат. |
|Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4. |
| |
| |
| |
|Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией |
|ветвей представлен на рис. 5. |
|Узловая матрица (примем ) |
|А |
| |
| |
| |
|Диагональная матрица проводимостей ветвей: |
|Y |
|, |
| |
| |
|где . |
|Матрица узловых проводимостей |
| |
| |
| |
|. |
|Матрицы токов и ЭДС источников |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид: |
| |
| |
| |
| |
|.Таким образом, окончательно получаем: |
|, |
|где ; ; ; ; . |
|Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно |
|записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления |
|уравнений по методу узловых потенциалов. |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей? |
|Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС. |
|Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов. |
|Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2. |
|Ответ: |
|. |
|Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями |
|3 и 4 (см. рис. 5). |
|Ответ: |
| |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. |
|Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. |
|Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), |
|рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и |
|другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой |
|протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу |
|времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или |
|преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует |
|математическое определение: |
|. |
|(1) |
| |
| |
|Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид: |
|. |
|(2) |
| |
| |
|Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за |
|, получим: |
|. |
|(3) |
| |
| |
| |
|Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую,|
|угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. |
|Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i |
|разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике |
|противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. |
|Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически |
|запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных |
|элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником |
|двухполюснику в течение времени t равна . |
|Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью . |
|Принимая во внимание, что , из (3) получим: |
|. |
|(4) |
| |
| |
|Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной|
|(иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе |
|пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для |
|двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные |
|индуктивные и емкостные элементы. |
|1. Резистор (идеальное активное сопротивление). |
| |
|Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощность |
| всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность |
| |
| |
|2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность) |
| |
|При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в |
|соответствии с (3) можно записать . |
|Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает. |
|Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник. |
|3. Конденсатор (идеальная емкость) |
|Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из |
|(3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе |
|активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого |
|преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция |
|энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом |
|поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти |
|периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и |
|конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие |
|от активного сопротивления R резистора, – реактивными. |
|Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости |
|поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, |
|которое называется реактивной мощностью. |
|В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид: |
| |
|(5) |
| |
| |
|Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при |
|опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к |
|измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр). |
|В частности для катушки индуктивности имеем: |
|, так как . |
|. |
|Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности |
|пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно |
|получить для идеального конденсатора: |
|. |
|Полная мощность |
|Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется |
|понятие полной мощности: |
|. |
|(6) |
| |
| |
|Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением: |
|. |
|(7) |
| |
| |
|Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных |
|выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига |
|между током и напряжением. Итак, |
|. |
|(8) |
| |
| |
|Комплексная мощность |
|Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными |
|изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной |
|мощности: |
|, |
|(9) |
| |
| |
|где - комплекс, сопряженный с комплексом . |
|. |
|Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. |
|4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем: |
|. |
|Применение статических конденсаторов для повышения cos |
|Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и |
|потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным |
|потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной |
|мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических |
|цепях. |
|Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, |
|электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит |
|активно-индуктивный характер. |
| |
|Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий |
|ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к |
|напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери)|
|уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение |
|конденсаторов для повышения . |
|Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения |
| до значения ? |
|Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через |
|конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки : |
|; |
|(10) |
| |
| |
|; |
|(11) |
| |
| |
|. |
|(12) |
| |
| |
|Из (11) и (12) с учетом (10) имеем |
|, |
|но , откуда необходимая для повышения емкость: |
|. |
|(13) |
| |
| |
| |
|Баланс мощностей |
|Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить |
|критерием правильности расчета электрической цепи. |
|а) Постоянный ток |
|Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение: |
| |
|(14) |
| |
| |
|Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: |
|суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной |
|мощности, потребляемой в цепи. |
|Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная |
|мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля,|
|но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие|
|источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора). |
|б) Переменный ток. |
|Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей |
|равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е. |
| |
|(15) |
| |
| |
|В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство |
|опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей: |
| , |
|(16) |
| |
| |
|где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным . |
|Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому |
|выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной |
|индуктивности): |
| |
|или |
|. |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Что такое активная мощность? |
|Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана? |
| Что такое полная мощность? |
|Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ? |
|Критерием чего служит баланс мощностей? |
|К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в |
|которой . Определить активную, реактивную и полную мощности. |
|Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА. |
|В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L,|
|ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. |
|Определить сопротивления R и XL элементов ветви. |
|Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом. |
|Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и |
|резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором |
|I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи. |
|Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом. |
|Теория / ТОЭ / Лекция N 8. Резонансы в цепях синусоидального тока. |
|Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и |
|емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) |
|вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с |
|входным напряжением. |
| |
|Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами |
|(резонанс напряжений) |
| |
|Для цепи на рис.1 имеет место |
| |
|где |
|; |
|(1) |
| |
| |
|. |
|(2) |
| |
| |
|В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая. |
|1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, |
|. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а. |
| |
| |
| |
|2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает |
|векторная диаграмма на рис. 2,б. |
|3. - случай резонанса напряжений (рис. 2,в). |
|Условие резонанса напряжений |
|. |
|(3) |
| |
| |
|При этом, как следует из (1) и (2), . |
|При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В |
|теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно |
|возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, |
|которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. |
|Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, |
|соответственно, . |
|Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в |
|радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным |
|режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. |
|Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между |
|магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем |
|сумма энергий полей остается постоянной. |
|Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных |
|элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется |
|для эквивалентных значений LЭ и CЭ . |
|Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения |
|параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно |
|записать |
|. |
|(4) |
| |
| |
|Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве |
|их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 |
|при U=const. |
|Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая |
|отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению: |
|, |
|(5) |
| |
| |
|- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его |
|полосу пропускания . |
|Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, |
|связанное с добротностью соотношением |
|, |
|(6) |
| |
| |
|или с учетом (4) и (5) для можно записать: |
|. |
|(7) |
| |
| |
| |
|Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами |
|(резонанс токов) |
|Для цепи рис. 4 имеем |
|, |
|где |
|; |
|(8) |
| |
| |
| . |
|(9) |
| |
| |
|В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае|
|последовательного соединения элементов, возможны три различных случая. |
| |
|В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму |
|соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а. |
|В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует |
|векторная диаграмма на рис. 5,б. |
| - случай резонанса токов (рис. 5,в). |
|Условие резонанса токов или |
|. |
|(10) |
| |
| |
|При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная|
|проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В |
|частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в |
|режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе |
|цепи минимален. |
|Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота|
|определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой|
|резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или |
|параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. |
|При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем |
|случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия |
|вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи. |
|Например, для цепи на рис. 6 имеем |
| |
|Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие |
|резонанса имеет вид |
|, |
|откуда, в частности, находится резонансная частота. |
|Резонанс в сложной цепи |
|Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и |
|емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного |
|сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у |
|соответствующих этому условию уравнений относительно нескольких вещественных |
|корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот. |
|При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое |
|выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной |
|проводимости следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням |
|, т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, |
|которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения - значения |
|частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи |
|на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из|
|исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с |
|минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы|
|резонансов напряжений и токов чередуются. |
|В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного |
|сопротивления данной цепи имеет вид |
| |
|Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу |
|напряжений, а из решения уравнения - частоту , соответствующую резонансу |
|токов. |
| |
| Литература |
| |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется? |
|Что такое резонанс токов, чем он характеризуется? |
|В чем физическая сущность резонансных режимов? |
|На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты? |
|В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и |
|добротность контура. |
|Ответ: . |
|Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение|
|? |
|Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 |
| заменен на резистор R3. |
|Ответ: . |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 9. Векторные и топографические диаграммы. |
|Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, |
|напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы |
|наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно |
|непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. |
|Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит |
|надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в|
|котором находятся определяемые векторы. |
|При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов |
|за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к |
|нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных |
|элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) |
|вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно |
|него векторы токов в параллельных ветвях. |
|Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками |
|электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют |
|собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной |
|плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей |
|собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго|
|соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на |
|каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем|
|элементе. |
|В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую |
|диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. |
|1). |
|Параметры схемы: |
|При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы найденные значения |
|токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; . |
|При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. |
|2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, |
|т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, |
|используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая |
|составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих |
|осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. |
|Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании |
|известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы |
|предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения |
|топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи|
|с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на |
|комплексной плоскости). |
|При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по |
|направлению тока или против. Чаще используют второй вариант. |
| |
|В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего |
|потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс |
|падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается |
|источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс |
|величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус |
|величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике |
|ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС. |
|Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал |
|точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек: |
| |
|или |
| |
|Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность |
|потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. |
|Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления |
|выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая |
|диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих |
|топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов |
|соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны. |
|В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек |
|топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений |
|относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не |
|указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений. |
| |
|Потенциальная диаграмма |
|Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она |
|представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, |
|при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, |
|встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы |
|соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или |
|контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. |
|Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3. |
| |
| |
| |
| |
| |
|При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы |
|равны: ; ; . |
|Построим потенциальную диаграмму для контура abcda. |
|Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль |
|рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура |
|относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за |
|нуль: |
| |
|Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); |
|d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для |
|выбранного контура. |
| |
|Преобразование линейных электрических схем |
|Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во |
|многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, |
|что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения |
|числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При |
|этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов |
|в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего |
|вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие |
|источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в |
|преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной|
|и преобразованной цепях будут различны. |
|Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей. |
|1, Преобразование последовательно соединенных элементов |
|Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку|
|цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где |
| |
|(1) |
| |
|или |
|. |
|(2) |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если |
|ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает. |
|2 Преобразование параллельно соединенных ветвей |
|Пусть имеем схему на рис. 6,а. |
| |
| |
| |
| |
|Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС |
|, |
|где . |
|Тогда |
| , |
|где |
|; |
|(3) |
| |
| |
|, |
|(4) |
| |
| |
|причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к |
|тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”. |
|3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда” |
|В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к |
|последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях |
|преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и |
|наоборот. |
|Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в|
|треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными|
|в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими |
|преобразованиями, токи должны остаться неизменными. |
|Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований |
|Треугольник |
| |
|звезда |
| |
|Звезда |
| |
|треугольник |
| |
| |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Что представляют собой векторные диаграммы? |
|Что такое топографические диаграммы, для чего они служат? |
|В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм? |
|Какой практический смысл преобразований электрических цепей? |
|В чем заключается принцип эквивалентности преобразований? |
|Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3. |
|Полагая в цепи на рис. 8 известными ток и параметры всех ее элементов, |
|качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму |
|потенциалов для нее. |
|Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если . |
|Ответ: . |
|Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c |
|и d в цепи на рис. 8. |
|Ответ: ; ; . |
|Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, |
|состоящему из элементов , и . |
|Ответ: ; ; |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. |
|Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. |
|Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг |
|от друга. |
|В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС|
|в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а |
|возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов |
|характеризуется коэффициентом связи |
|, |
|(1) |
| |
|где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); и |
| -собственные индуктивности этих элементов. |
|Слеует отметить, что всегда к<1. |
|Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис.|
|1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в |
|первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу |
|правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции |
|Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который |
|отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния. |
|По определению |
| |
| |
|; |
|(2) |
| |
| |
|. |
|(3) |
| |
|Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим |
|; |
|(4) |
| |
| |
|. |
|(5) |
| |
|При этом |
|. |
|(6) |
| |
|Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы и , |
|то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки |
|другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются|
|разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния и . В этой связи |
| |
|. |
|Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две |
|катушки индуктивности и , индуктивно связанные друг с другом, и резистор |
|R. |
|При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При |
|этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы |
|препятствовать изменению потока взаимной индукции. |
|Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке|
|индуцируется ЭДС |
|, |
|(7) |
| |
|а во второй – |
|. |
|(8) |
| |
|Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС |
|взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться|
|из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например |
|точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в |
|первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС |
|взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное|
|включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по|
|отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются |
|– случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы |
|относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции |
|вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) |
|определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них. |
|Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим |
|; |
|(9) |
| |
| |
|, |
|(10) |
| |
|где - сопротивление взаимоиндукции (Ом). |
|Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем |
|, |
|откуда |
|. |
|Воздушный (линейный) трансформатор |
|Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для|
|преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит |
|из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного |
|сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие |
|ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора. |
|На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого |
|включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с |
|сопротивлением . |
| |
|В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством |
|магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает |
|переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется |
|ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке. |
|По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно |
|записать |
|; |
|. |
|Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид: |
|; |
|(11) |
| |
| |
|, . |
|(12) |
| |
|где и - активные сопротивления обмоток; . |
|Если уравнения (11) и (12) решить относительно , предварительно подставив в (12)|
| и обозначив ; , то получим |
|, |
|(13) |
| |
|где ; - вносимые активное и реактивное сопротивления. |
|Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки |
|может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением . |
|Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами |
|Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник. Для данной |
|цепи можно записать |
|; |
|. |
|Обозначим токи и как: ; . |
|Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно |
|записать: |
| ; |
|. |
|Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью: |
| |
|(14) |
| |
| |
| . |
|(15) |
| |
|где . |
|Из (14) и (15) вытекает, что |
|; |
|(16) |
| |
| |
|. |
|(17) |
| |
|Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко |
|второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, |
|равна нулю, т.к. . Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи |
|индуктивно связанные элементы не влияют. |
|Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна |
|. |
|Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных |
|элементов имеет вид |
|, |
|(18) |
| |
|где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а “-” – при встречном. |
|Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен |
|путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. |
|Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей |
|неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других |
|ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. |
|В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим |
|контурные уравнения для цепи на рис. 5: |
| |
|Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых |
|потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные |
|преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. 6, где цепь на рис. 6,б |
|эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном |
|включении катушек, а нижние – при встречном. |
| |
| |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-еизд.,перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
| |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Какие элементы называются индуктивно связанными? |
|Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он изменяется? |
|Что такое воздушный трансформатор? Почему он называется линейным? |
|Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения. |
|Как влияют индуктивно связанные элементы на баланс мощностей? |
|Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными |
|элементами? |
|Записать уравнения для расчета цепи на рис. 5, используя законы Кирхгофа. |
|Записать контурные уравнения для цепи на рис. 5, используя эквивалентную замену |
|индуктивных связей. |
|С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения |
|для цепи на рис. 5. |
|Рассчитать входное сопротивление на рис. 3, если ; ; ; ; ; |
|. |
|Ответ: |
1 2 3 4 5
