Комплексное число в школе .


                                                                Приложение 2


Теоретические основы курса «Комплексные числа»

      § 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая
форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их
суммы и разности.
      При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением
понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если
введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых
измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например,
уравнения х2 + 1=0 и х2 +4х +5=0 не имеют решения во множестве
действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений – целые числа.
Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа.
Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С
комплексных чисел.
      Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне
удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то
нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали
употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся
математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле
этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального
исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат,
например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное
средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас
от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые
числа». Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое
истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся
математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных
чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин –
теория функций комплексной переменной.
      Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:
      а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};
            б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};
      в) рациональных Q={,n  Z, n  N};
      г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат
любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение
любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова
дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня
определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных –
из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.
Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней,
привел математиков к необходимости расширить множество действительных
чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что   i2=-1.Поскольку
действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали
“мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни
изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего
расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на
все действительные числа, т.е. числа вида bi, где bR, а также суммы
действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где
a,bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они
содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.
Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b -
действительные числа, i2=-1).
    Если z=а+bi - комплексное  число,  то  а  называют  его  действительной
частью,  а  b-мнимой  частью.  Приняты  обозначения  a=Re  z,  b=Jm  z   (от
французских слов re(ele -  действительный  и  imaginaire  -  мнимый).  Числа
a+bi, для которых b(0, называют мнимыми числами,  а  числа  вида  bi,  b(0,-
чисто мнимыми числами.
    Множество комплексных чисел обозначается С.
    Два комплексных числа z1=a+bi  и z2=с+di считаются равными друг   другу
в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число  a+bi  будет
считать равными нулю, если a=0 и  b=0.
    Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.
                     Действия над комплексными числами:
    1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.
    2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что
         i2 =-1.  Эту    формулу    можно    получить,   умножая
(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.
Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i.
    Рассмотрим степени числа i :
i1 =i ;  i2 =-1;  i3 =i2*i =-1*i =-i;  i4 =i2*i2 =(-1)(-1)  =1;   i5=i3*i2=-
i(-1)=i;  i6= =i5*i=i*i=-1=i2; …
Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir.
Получаем, i4m=1;  i4m+1=i;  i4m+2=-1;  i4m+3=-i.
Например, i218=i4*54+2=i2=-1.
    3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.
    Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются
лишь знаком мнимой части.
    Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi.     Заметим,    что
z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a;   z*z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2   .  Следовательно,  сумма  и
произведение двух сопряженных  комплексных  чисел  являются  действительными
числами.
    4. Деление: на практике при делении комплексных чисел  удобно  домножить
       числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:
a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i
c+di      (c-di)(c-di)              c2   +   d2                        c2+d2
c2+d2

Например, 10+15i  =  (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i
                      1+2i             (1+2i)(1-2i)                1   +   4
       5

               Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
    Как  известно,  действительные  числа  можно  изображать   точками   на
координатной прямой. А комплексное  число  естественно  выражать  точкой  на
координатной плоскости.
    Каждому комплексному числу a+bi  поставим в соответствии  точку  M(a;b)
координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса  которой  равна  действительной
части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой  точке  M(a;  b)
координатной  плоскости  поставим  в  соответствие  комплексное  число  a+bi
(рис.1).
                                    
    Очевидно,  что  получаемое  при  этом  соответствие  является   взаимно
однозначным.   Сама   координатная   плоскость    называется     комплексной
плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси  абсцисс,  которая
называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки  оси  ординат,
которая называется мнимой осью.
    Не менее важной и удобной  является  интерпретация  комплексного  числа
a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего  из  начала
координат О (о,о) и идущего в точку  М  (а;b).  Разумеется,  вместо  радиус-
вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.
    Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно  тем,  что  при
этом получают простое геометрическое истолкование  операций  над  ними.  При
сложении чисел  z1=a1+b1i  и  z2=a2+b2i  складываются  их  действительные  и
мнимые  части.  При  сложении  соответствующих  им  векторов   ОМ1   и   ОМ2
складываются их координаты.  Иными  словами,  если  числу  z1  соответствует
вектор ОМ1, а числу z1-вектор  ОМ2,  то  числу  z1+z2  соответствует  вектор
ОМ1+ОМ2, а числу z1-z2 - вектор ОМ1- ОМ2.
    Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем
комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.
    Для модуля числа z используется  обозначение  /Z/  или  r.  По  теореме
Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi  легко  получается
следующая важная формула: /Z/=(a2+b2,  выражающая  модуль  числа  через  его
действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z  =  /z/2  =
/z/2.
                                 Упражнения:
1. (2(3 - 4i(2) - ((27 - i(32) + (2    + 2i
                                                  (3     (3  ;

2. (m -  n  i) + ( n - m   i - (( 1   - 1  i) - 1  - 1 i))  ;
   n     m          m    n          n      m      m   n

3. 2i (1 + (3  i)  ( -1   + (3  i );
         2     2          2         2
4. Найдите комплексные числа:
а) z =i + 6i+1    б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ;  в) z = 3+1  :   2
             1+7i                                                        3-i
      5(1-i)

г) z = (1+2i)3 - (1-i)3    ; д) z = (2+i)5      е)  z  =  5+12i   +  (1+2i)2

                                   (3+2i)3-                           (2+i)2
      8-6i        2+i

 ж) z = (-0,5 + i (3) 3
                           2

5. Изобразить геометрически комплексные числа:
а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.
6. Найдите действительную часть комплексного числа:
z= (1+2i) + i19 ;
мнимую : z= (2-i)3 (2-11i).
7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному,  изобразить  их
  геометрически.
7. Выполнить сложение алгебраически  и  дать  геометрическую  интерпретацию:
  z= z1 +z2 +z3, где  z1 = 3-2i;    z2=-3+4i;    z3 = 2- i.
8. Найти два действительных числа Х и У, удовлет  их равенствам:
а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у
    х                 х
б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;
в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

               §2. Действия над комплексными числами, заданными
                   в алгебраической форме. Решение задач.
   Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:
    1. Обозначение  числовых множеств и их соотношения.
    2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?
    3. Определение комплексных  чисел, частные случаи, основные соглашения.
    4. Определения сопряженных и противоположных комплексных  чисел,  модуля
       комплексного числа.
    5.  Геометрическая  интерпретация  комплексных  чисел,   сопряженных   и
       противоположных комплексных чисел.
    6. Действия над комплексными числами, заданными в  алгебраической  форме
       (определения и свойства).
    7. Действия над комплексными числами,  геометрическая  интерпретация  их
       суммы и разности.
    8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их
       сумму и разность показать геометрически).
    9. Можно ли сравнивать комплексные числа?
   10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.
        Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное
                         содержание одного варианта:
    1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = .  .  .
       .;
    2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .
    3. Вычислить: ((3 + i(2) ((3 - i(2) = . . . .
    4.  Построить  слагаемые  и  сумму  комплексных  чисел  на   комплексной
       плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i.
    5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и  разность  комплексных  чисел  на
       комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.
                                 Упражнения:
1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi   - i  b-ai = ;
                                                                        b+ai
     a+bi
в) i100 + i98 +i63 =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа  Х  и
  У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.
2. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа
а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?
4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;
б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0;   в) z2 + z =0;  г) (1-i) z - 3iz = 2-i;    д)
z*z + 2z =3+2i;
е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.
5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz =  i-
  2i;
г) z2 + 3/z/ =0;  д) z2 + /z/2 =0.
8. Какое  множество точек комплексной плоскости задается условием:
 а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2;  д) /z+i/ =2; е)  /z-2/  <3;
 ж) /z-4 +i/ (5.
7. Точка А соответствует комплексному числу z =  3+  i4.  Какое  комплексное
   число соответствует точке симметричной точке А, относительно:  а)оси  Ох;
   б) оси  Оу; в) начала координат?
8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2  ,  z3   являющиеся  вершинами
   некоторого треугольника. Найдите все комплексные  числа,  соответствующие
   точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.
9. Изобразить: а)   /z/ (3         б)/z/( 1      в) /z-1/( 2
                               /z-3i/(3        /z-2i/(2        -1< Rez<2

 г) 1( /z-1/( 2           д) /z/ (3
     0(  Jmz((3             1< Jmz <2.

              § 3  Тригонометрическая форма комплексного числа.
                    Переход от алгебраической формы комплексного числа к
                        тригонометрической и обратно.
       Повторить  с  учащимися  алгебраическую  форму  комплексного  числа;
 геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного  числа
 и основные соотношения, связанные с ним.
    Пусть точка А соответствует комплексному
числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА  называется
модулем числа z, а радианная мера угла,
образованного этим вектором с
положительным направлением действительной оси,   -  аргументом  комплексного
числа Z. Причем величина угла считается положительной, если  отсчет  ведется
против  часовой  стрелки,  и  отрицательной,  если  отсчет  производится  по
часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент -  argz  =  (  (см.
рис. 2).
    Для  числа z=0 аргумент не определяется, но в  этом  и  только  в  этом
случае число задается только своим модулем. Если комплексное число  является
действительным, то соответствующий ему вектор расположен  на  действительной
оси, и понятие /z/ совпадает с  известным  понятием  модуля  действительного
числа.
    Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется  однозначно.
Но аргумент  комплексного  числа,  в  отличие  от  модуля,  определяется  не
однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от  друга
слагаемым, кратным 2(.
    На  рис.  2  мы  видим,  что   sin   (   =   b/r,   а   cos   (   =a/r,
                                                    отсюда а=r cos (  и  b=r
sin (, где r =(a2 + b2, т.о. действительная и мнимая   части    комплексного
числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент (.  Следовательно,
комплексное число z может  быть  записано в  виде  z=r  cos  (  +  i  r  sin
(=r(cos (+i sin () - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
    Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы
комплексного числа в тригонометрическую:
    1. Найти радиус r = (a2 + b2
    2. Вычислить tg (1 =|b/a|.
    3. По знакам a  и b  определить четверть, в которой   находится число z.
    3. Найти (, причем, если число находится:
а) в I четверти, то ( = (1;
б) во II четверти, то ( = ( - (1;
в) в III четверти, то  ( = ( + (1;
г) в IV четверти, то ( = -(1, или ( = 2( -(1.
    5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:
z = r (cos ( + i sin ().
    Или, чтобы не производить  лишних  вычислений,  для  того  чтобы  найти
значение для ( по известным значениям sin ( и  cos  (,  заполним  таблицу  и
будем ею пользоваться:
( |0 |(
6 |(
4 |(
3 |(
2 |( |5(
6 |3(
4 |2(
3 |3(
2 |4(
3 |4(
4 |7(
6 |5(
3 |7(
4 |11(
  6 |2( | |sin( |0 |1
2 |(2
 2 |(3
 2 | 1 |0 | 1
 2 |(2
 2 |(3
 2 | -1 |-(3
 2 |-(2
 2 |-1
 2 |-(3
  2 |-(2
  2 |-1
 2 |0 | |cos( |1 |(3
 2 |(2
 2 | 1
 2 |0 |-1 |-(3
2 |-(2
  2 |- 1
 2 |0 |-1
 2 |-(2
  2 |-(3
  2 |1
2 |(2
 2 |(3
  2  |1  |  |Переход  от  тригонометрической  формы  комплексного  числа   к
алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos ( + i  sin  ()
числовых значений cos (  и sin (, затем раскрываются скобки  и  производятся
    упрощения.
    Например: 1) z = 1+i       /z/ r =( 12+12 =(2
sin( = 1 =2     cos( = 1  = 2 (( = 450
             (2   2               (2    2
т.о z = a + bi = 1 + i = (2 (cos 450+ isin 450 =(2 (cos ( + sin ()

         4         4

2. z = 6( cos( + isin () = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 (z = -6.
                                 Упражнения:
1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:
а) (3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - (3 i          е)   -3  (cos  (  +
isin (
                                                       2          2        ;
           7           7  ;
ж) sin 48( + cos 48( ;  з) 1 + cos 10( + isin 10(
                                                      9               9
2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :
а) z = 2 (cos 225( + isin 225() ; б) z=3 (cos0( + isin 0() ;
в) z = 5(cos ( + isin (    ;  г) z = 2(cos ( + isin (
                    2          2                           3           3
3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos ( + isin ( )

 4           4
б) z = cos( + isin ( ; в) z =2 (cos 3( + isin 3(
                                                       4             4
-----------------------
1 2 3 4 5 6