На Главную

ГДЗ: Английский язык       Алгебра       Геометрия       Физика       Химия       Русский язык       Немецкий язык

Подготовка к экзаменам (ЕГЭ)       Программы и пособия       Краткое содержание       Онлайн учебники
Шпаргалки       Рефераты       Сочинения       Энциклопедии       Топики с переводами

Все темы:"Рефераты по Математике"

Проективная геометрия .

Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий,
здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как
установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это
преобразование имеет вид дробно-линейной функции (1) х/= ? х+ ? / ? х+?
, причем, чтобы существовало обратное проективное преобразование,
необходимо, чтобы величина ?? - ?? ? 0. Запишем преобразование (1) в виде
функции х/= f(x).

Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х/= f(x),
x//= f(x/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного
многообразия (на прямой) выполняется соотношение x//= f(x/)= х (то есть
дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное
отображение называется инволюционным или инволюцией. Инволюция
характеризуется еще и тем, что x= f(x/), т. е. обратное отображение х/= х
совпадает с исходным х= х/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при
которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1)
выразим х через х/ : (? x /- ? )x= - ? x/ + ? ? x= - ? x/+? / ? x /- ?
(2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда
либо:
а) ? =- ? , ?, ? - любые
б) ? = ?, ? = ? = 0 - но это тождественное отображение, которое исключим
из рассмотрения.

Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного
отображения х/= ? х+ ? /? х- ® , где -?2- ?? ? 0 обозначим ? = -?2- ??

Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся
неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х/= ?
х+ ? /? х- ® .

Решим последнее уравнение относительно х (3) ? х2-2 ? х- ?= 0 -
квадратное относительно х.

Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не
может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть ?2+?? =-?.

Если -?<0, (дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет
действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая
инволюция называется эллиптической (ее условие --?2-?? >0).

Если - ? >0, то есть ?<0 , -?2-?? <0 , то уравнение (3) имеет два
действительных корня или две неподвижные точки- называется такая инволюция
гиперболической.

Если ? ’0, то есть -?2-?? ’0 , параболическая инволюция, но в этом случае
такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как
оно не взаимно однозначно.

Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо
задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул
проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек.

Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек
на прямой.

Оно определяется так :Пусть М1,М2,M3,M4-четыре точки некоторой проективной
прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим
через t1,,t2,t3,t4, координаты заданных точек. Можно показать, что
величина (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4 )

не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением
точек на прямой.

Эта величина обозначается (М1 М2 M3 M4)= (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4 )
и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).

Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два свойства
СОЧТ.
1) (М1 М2 M3 M4)=(M3M4M1M2)
2) (М1 М2 M3 M4)= 1/ (М1 М2 M3 M4) то есть СОЧТ не меняется при
перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину
при перестановке точек внутри какой-нибудь пары.
Важная теорема проективной геометрии гласит.

При любом проективном отображении прямой а на прямую а/ сложное
отношение произвольной группы точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному
отношению соответствующих им точек М1/ M2/ M3/ M4/ прямой а/ .

Частным ее случаем является утверждение:

В плоскости ? заданы две прямые а и а/ ,задана произвольная точка S
,принадлежащая плоскости ? ,но не лежащая на прямых а и а/. Тогда, сложное
отношение любой четверки точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному
отношению их проекций М1/ М2/ М3/ М4/ из центра S на прямую а/ .

Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского пучка
из четырех лучей m1 m2 m3 m4
Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в
четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное
отношение.

(М1 М2 М3 М4)=инвариант
проективной геометрии
или, что тоже самое (m1 m2 m3 m4 ) - инвариант проективной
геометрии
Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного
многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать,
что если пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С,D, то
сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического
сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый
второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении

АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты ti точек (1,2,3,4)
соответствует ( A , B , C , D )
(t3 - t1)/(t1 - t4) = (t2 - t3)/(t2 - t4) или (t3 - t1)/(t2 - t3)
=
- (t4 - t1)/(t2 - t4) или ((t3 - t1)/(t2 - t3))/((t4 - t1)/(t2 -
t4))=-1

Матрицы проективных преобразований.
Представим перспективную проекцию объекта как проективное
преобразование с центром проекции на оси z (на расстоянии zq от
начала координат). Пусть плоскостью проекции является координатная
плоскость XOY
P(x,y,z)-точка объекта , P/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно,
что координаты точки-проекции P/ есть X=x/(1-z/zq) , Y=y/(1-z/zq)
(*)
Однородные координаты точки P (x,y,z,1) - P/(x/,y /,z/,w /) ,w
?0.

Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных
преобразований в однородных координатах:
1 0 0 0 P./=MПр* Р
МПр = 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 -1/zq 1

x/ 1 0 0 0 x x
Неоднородные координаты точки P/
x/ 1 0 0 0 x x
y / = 0 1 0 0 y = y
получаем отсюда : X=x/(1-z/zq ) ,
z/ 0 0 0 0 z 0
Y=y/(1-z/zq ) ,Z=0
w 0 0 -1/zq 1 1 1-z/zq

Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - ( однородные
координаты (0,0,1,0).
Вместо МПр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без
проецирования на плоскость XOY).
1 0 0 0 0 0 Неоднородные
координаты проекции
0 1 0 0 0 = 0 этой точки (0 ,0 ,
-zq )
0 0 1 0 * 1 1
0 0 -1/zq 1 0 -1/zq

Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого
проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку
(0,0,-zq ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода.
Аналогично, матрицы 1 0 0 0 1 0
0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 * 0 0 -1 0
-1/xq 0 0 1 0 -1/yq 0 1

описывают проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY. Это
все преобразованные с одной точкой схода. Матрица 1 0 0 0
1 0 0 0
преобразование 0 1 0 0 0 1
0 0
с двумя точками 0 0 1 0 0 0
1 0 А это с тремя
схода -1/xq -1/yq 0 1
1/xq -1/yq -1/zq 1

Групповые свойства проективных преобразований

Группа - есть совокупность объектов произвольной природы, которые
называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, ...,
удовлетворяющая требованиям следующих аксиом:
1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке,
сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же
совокупности.
Символически это записывают так элемент 3. Существует такой элемент (, что для любого элемента a группы выполняется
ae=a.
Элемент e называется единичным элементом.
4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что
ax=e.
Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a-1, т. е. X= a-1.
Отсюда следуют такие правила:
a) если ax=e, то и xa=e
б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается
“левая” и “правая” единицы
в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно
Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно к
представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных
координатах, то можно сказать, что совокупность проективных преобразований
составляет группу:
1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного
преобразования;
2) (c1c2)c3= c1(c2c3)
3) единичный элемент
1 0 .. 0
0 1 .. 0
E = - - - -
0 .. .. 1
4) условием существования обратного элемента является условие существования
обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие
является требованием проективного преобразования.
Группу проективных преобразований называют проективной группой.
Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований, соответствующих
конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических преобразований.

1 Проективная
группа Матрица (n+1)(n+1)
в R1, R2, R3, ...,Rn

удаление Ґ удалённых элементов

(соответствующее разрезы)
2
Аффинная
группа Матрица n(n+1)

Введение свойства перпендикулярности

Ортоганальная Паралельный
Гомотетии
группа перенос
(вращений)

Для однозначного определения матрицы преобразования 1го уровня необходимо
(n+2) точки. Для однозначного определения матрицы преобразования 2го уровня
необходимо (n+1) точка. Для однозначного
определения матрицы преобразования 3го уровня необходимо n точек.

2 уровень A2
Y

C2
C1
B2 (2 A1

O (1

3 уровень

Y Y
Y
A2
A2

A2
j

A1
A1
O X O X
O X

j - угол поворота n - вектор
Гомотетия
плоско параллельного
k=OA2/OA1

переноса

Матрицы конкретных проективных преобразований.

Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и
преобразованием более высокого
1) На плоскости. Перенос на вектор n (a,b)
P/=M(n )P P, P/ - однородные координаты
Поворот на угол ? против часовой стрелки вокруг начала координат.
Маштабирование относительно начала координат.
неоднородное

2) В пространстве

Вращение
относительно оси Z(угол ? )

относительно оси X(угол ? )

относительно оси y(угол ? )

Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований.

Перспективные преобразования.
1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях).
А) На оси Z

куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности
т.Аz(0,0,1,0)

В неоднородных координатах.

т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-zq)

б) на оси x

Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0)
преображаются в т.(-xq , 0, 0)

в) На оси у
т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-yq,0)

г) С двумя точками схода , с тремя.

-----------------------

1 2 3 4