Проективная геометрия .

      Рассмотрим вначале систему однородных координат на проективной  прямой
а.
      Отметим, что любая точка М этой прямой имеет некоторую  координату  х,
введенную  так,  как  показано  в  предыдущей  лекции  при  задании  системы
координат точками 0,1, ?.При этом вполне  определенную  координату  получает
любая точка прямой, кроме точки ?.
      Введем для точки М два числа х1 и х2, не равные  одновременно  нулю  и
такие, что их отношение (х1/х2) равно х. Эти числа  (х1,х2)  будем  называть
однородными  координатами  точки  М.  С  точкой  ?   сопоставим   однородные
координаты х1, х2 при условии х2=0.

      Свойства системы однородных координат:
     1) Каждая точка проективной прямой имеет однородные координаты.
     2) Если х1, х2 -однородные координаты т. М, то ?х1, ?х2,  где  ?-любое
        число, отличное от нуля, есть тоже однородные координаты т. М.
     3)  Разным  точкам  проективной  прямой  всегда  соответствуют  разные
        отношения их однородных координат.

      Важнейшим свойством является второе: именно -каждая точка  проективной
прямой имеет бесконечно много пар  однородных  координат,  которые  сами  по
себе не определяются соответствующей им точкой,  точка  определяет  лишь  их
отношение. Поэтому, подходящим подбором множителя s можно одну из  координат
взять  равной  единице  (как  правило  -х2).   Выпишем   теперь   однородные
координаты базовых точек проективной прямой - точек 0, ?,1, обозначаемых  А1
, А2 , А3 . А1 (0,1), А2  (1,0), А3 (1,1).

 Однородные координаты па проективной плоскости
      На  проективной  плоскости  все  точки,  кроме  лежащих  на  прямой  ?
(бесконечно удаленной  прямой),  имеют  однородные  проективные  координаты.
Базовыми точками для  арифметизации  проективной  плоскости  (т.е.  введения
проективных неоднородных координат) являются: начало системы координат  О  ;
?Х (бесконечно удаленная на оси х), ?y  (бесконечно  удаленная  на  оси  y),
(1,1) - единичная. Очевидно,  бесконечно  удаленная  прямая  проходит  через
точки ?х и ?y. Определим однородные проективные координаты сперва для  точек
проективной плоскости, не лежащих  на  прямой  ?.  Однородными  координатами
такой точки М назовем три числа х1 , х2 , х3 , не равных  одновременно  нулю
и таких, что  х1/х2=х;  х2/х3=y,  где  х  и  y  -  проективные  неоднородные
(обычные) координаты. Однородными  координатами  точки    М?  ,  лежащей  на
прямой ? , назовем три числа х1 , х2 , х3 при условиях:
     1) х3=0;
     2) Из двух чисел х1 , х2 хотя бы одно отлично от нуля;
     3) Отношение х1/х2 равно В/ (-А), где  А  и  В  -  коэффициенты  любой
        прямой  Ах+Ву+С=0, проходящей через точку М? .
      Если в уравнение прямой  Ах+Ву+С=0  подставить  однородные  координаты
некоторой точки М, лежащей на прямой  (х=х1/х3,  у=х2  /х3),  то  получим  :
Ах1+Вх2+Сх3=0, или иногда его записывают как:
       u1 x1+u2 x2+u3 x3 = 0  - уравнение  прямой  в  однородном  виде  (нет
свободного члена)

Свойства однородных координат на плоскости:
      1) Каждая точка проективной плоскости имеет однородные координаты
      2) Если х1 , х2 , х3  - однородные координаты точки М, то s х1 , s  х2
      , s х3   (где  s  -  любое  отличное  от  нуля  число)  тоже  являются
      однородными координатами точки М.
      3) Разным точкам соответствуют разные отношения х1 / х3 , х2 /  х3  их
      однородных координат.

      Подходящим  выбором  s  одну  из  координат   можно   сделать   равной
1.Например, точка О  -  начало  координат,  получает  однородные  координаты
(0,0,1), точка Ґх - (1, 0, 0), точка Ґу - (0,1,0), точка единиц по осям х  и
у - (1,1,1). Обозначим  эти  точки  так:  А1(1,0,0),  А2(0,1,0),  А3(0,0,1),
Е(1,1,1) , их называют вершинами координатного триедра. Прямая А1 А2  -  это
бесконечно удаленная прямая - она имеет в однородных  координатах  уравнение
х3 =0. Оси координат имеют свои обычные уравнения :
      х1 =0, х2=0.



Однородные координаты в трехмерном пространстве.
      Вводятся аналогично первым двум случаям. Сначала определим их для всех
точек, не принадлежащих плоскости Ґ (бесконечно удаленной плоскости).
      Однородными координатами таких точек называются любые четыре числа  х1
, х2 , х3 , х4 , не равные одновременно нулю, и такие, что  х1  /х4=х  ,  х2
/х4=у, х3 /х4=z, где х, у, z - М. Если же точка М принадлежит плоскости Ґ  ,
то ее однородные координаты определяются условиями : неоднородные  (обычные)
координаты точки:
     1) х4=0;
     2) из трех чисел х1 , х2, х3  хотя бы одно отлично от нуля;
     3) отношение х1/х2/х3 равно отношению m/n/p,  где  m,n,p  -  параметры
        уравнения любой прямой, проходящей через точку МҐ     (х  -х0  )  /
        m=(y -y0) ) / n=(z -z0 ) / p.
      Аналогично уравнению прямой в однородном виде (u1  x1+u2  x2+u3  x3+u4
x4=0) можно записать уравнение  плоскости  в  таком  же  виде:  Ax+By+Cz+D=0
,Ax1+Bx2+Cx3+Dx4=0  или u1x1+u2x2+u3x3+u4x4=0

      Вершины координатного тетраэдра (пять точек): Ґx , Ґy , Ґ z , 0, E
 A1  (1,0,0,0) , A2  (0,1,0,0) ,  A3 (0,0,1,0) , A4 (0,0,0,1) , E (1,1,1,1)
..



 Аналитическое представление проективных преобразований   (отображений)


      1. Сначала рассмотрим проективные отображения плоскости на  плоскость.
Что такое проективное  преобразование  (отображение)?  Очевидно,  это  такое
отображение, при котором сохраняются проективные свойства объекта,  например
такое, как разделенность двух пар  точек  и  гармонически  сопряженные  пары
точек. Пусть  М/=f(M) - проективное отображение (М  -  прообраз  в  исходной
плоскости a, М/ - образ в преобразованной  плоскости  a/).  Можно  доказать,
что и обратное отображение  М=f-1 (M/) тоже является проективным,  т.е.  это
взаимно однозначное отображение (биективное).Т.к. все  проективные  свойства
опираются на свойства разделенности и  гармонического  сопряжения  двух  пар
четырех  соответствующих  элементов  (точек,  прямых   в   пучке   в   одной
плоскости), то существует  теорема  ,  по  которой  проективное  отображение
одной плоскости  в  другую  однозначно  определяется  заданием  четырех  пар
соответствующих по отображению точек, при условии, что никакие  три  из  них
не лежат на одной прямой. Показывается, что  простейшим  таким  отображением
является линейное отображение вида   М(х1 ,х2 ,х3) ® М/  (s/x1/  ,  s/x2/  ,
s/x1/ )
     s/x1/ =c11 x1+c12 x2+c13 x3            Числа сi k  определяют  матрицу
такого преобразования,
(1)       s/x2/ =c21  x1+c22  x2+c23  x3               причем  для  взаимной
однозначности отображения
               s/x3/  =c31  x1+c32  x2+c33  x3            необходимо,  чтобы
определитель матрицы № 0. По указанному выше  замечанию  преобразование  (1)
однозначно определено, если заданы четыре пары соответствующих  точек  М1  ,
М2 , М3 , М4 ® М/1 ,  M/2  ,  M/3  ,  M/4  .  Более  того,  всякое  линейное
отображение  вида  (1)  ,  определитель  которого  отличен  от  нуля,   есть
проективное отображение. Проективные преобразования составляют  группу:  это
значит, что существует тождественное проективное преобразование  (единичное)
,  обратное   к   заданному,   а   также   произведение   двух   проективных
преобразований  есть  снова  проективное  преобразование.  Пусть  заданы   в
плоскости a четыре точки Мk (k=1,2,3,4) с проективными координатами  х1 k  ,
х2 k , х3 k , никакие три из которых не лежат  на  одной  прямой,  и  четыре
точки М/k (k=1,2,3,4) в плоскости a/ с проективными  координатами  x/1  k  ,
x/2 k , x/3 k , также никакие три из которых не  лежат  на  одной  прямой  .
Надо показать, что из линейных преобразований:
      1)
                 s/kx/1 k =c11 x1 k+c12 x2 k+c13 x3 k
                 s/kx/2 k=c21 x1 k+c22 x2 k+c23 x3 k              c   №0
                 s/kx/3 k=c31 x1 k+c32 x2 k+c33 x3 k
можно однозначно найти 9 параметров сi k и 3 параметра  s/k  (k=1,2,3)  ,  а
s/4 всегда можно выбрать равным единице.
      2) В трехмерном пространстве:
      Каково  бы  ни  было  проективное  отображение   М/=f   (M)   точек
пространства I на пространство I/ ,  проективные  однородные  координаты
x/1 , x/2 , x/3 , x/4 точки М/ выражаются через  проективные  однородные
координаты х1 , х2 , х3 , х4 точки М с помощью линейных соотношений:
                 s/kx/1 k=c11 x1 k+c12 x2 k+c13 x3 k+c14 x4 k
                 s/kx/2 k=c21 x1 k+c22 x2 k+c23 x3 k+c24 x4 k
(2)                      s/kx/3 k=c31 x1 k+c32 x2 k+c33 x3 k+c34 x4 k
                 s/kx/4 k=c41 x1 k+c42 x2 k+c43 x3 k+c44 x4 k
с постоянными коэффициентами сi k и при этом определитель матрицы такого
преобразования  D= с =(сi k) №0.
      3) Аналогичные определения существуют при  проективном  отображении
прямой  a на прямую  a/. Если М/  - точка на  прямой  а/  с  однородными
координатами х/1 , x/2  ,и  точка  М  -  на  прямой   а   с  однородными
координатами  x1  ,  x2  ,то  проективное  преобразование  М/  =  f  (M)
однозначно определяется из соотношений:
                 s/x/1 = c11 x1+c12 x2
                 s/x/2= c21 x1+c22 x2   и

      Часто бывает  удобным  использовать  проективные  преобразования  в
неоднородных координатах.


Для прямой :  Если х1 , х2 - однородные координаты точки М на прямой ,то
х=х1 / x2 - число, являющееся неоднородной координатой точки М  на  этой
прямой . Пусть задано проективное преобразование прямой   а   на  прямую
а/ . Значит, существуют соотношения :

                 sx/1 = c11 x1+c12
                 sx/2 =c21 x1+c22 x2


Разделим почленно первое равенство на второе :
           sx/1 /sx/2 =(c11 x1+c12 x2) / (c21 x1+c22 x2)  ,  учитывая  ,
      что x/=x/1 / x/2 , и  x=x1 / x2 .
Преобразуем
           x/=(c11 x+c12)/ (c21 x+c22) , введя новые обозначения : a=c11
      , b=c12 , g=c21 , d=c22
x/=(ax+b) /  (gx+d)   -  т.е.  в  неоднородных  координатах  проективное
преобразование выражается дробно - линейной функцией. ad -bg №0

Для плоскости :   Однородные координаты точки М  -  х1  ,  х2  ,  х3   ,
неоднородные : x=x1 / x3 ,y=x2 / x3 .
Формулы проективного преобразования в неоднородных координатах :
                 x/=(a1 x+b1 y+c1) / (ax+by+ g)  ,                  a1    b1
                 c1
                                                   y/=(a2 x+b2 y+c2) /  (ax+
                 by+ g)        где



В трехмерном пространстве :


Однородные координаты  (x1 , x2 , x3 , x4)) .
Неоднородные координаты



-----------------------
1 2 3 4